Analisi Matematica 2 - seconda parte

Analisi II Clipmie\Elenco dei libri

Indice.

• Spazi metrici.
• Esempi di spazi metrici.
• Diseguaglianza di Cauchy – Schwarz.
• Spazio euclideo ad n dimensioni.
• Cerchio e circonferenza.
• Insieme limitato.
• Diametro di un insieme X.
• Punti interni, esterni e di frontiera.
• Punti di accumulazione.
• Insiemi discreti e aperti.
• Chiusura di un insieme.
• Successioni.
• Teorema 1: dell’unicità del limite.
• Successioni estratte.
• Successioni di Cauchy o fondamentali.
• Spazio metrico completo.
• Insieme sequenzialmente compatto.
• Distanza tra due insiemi.
• Funzioni.
• Funzioni continue ed uniformemente continue.
• Teorema di Weierstrass.
• Teorema di Cantor.
• Continuità delle funzioni composte.
• Teorema della permanenza del segno e della locale limitatezza.
• Teorema di esistenza dei valori intermedi e degli zeri.
• Limiti di funzioni.
• Convergenza e divergenza puntuale.
• Criterio di convergenza di Cauchy.
• Convergenza e divergenza all’infinito.
• Derivate e differenziali.
• Derivata parziale.
• Teorema di Schwarz (dell’invertibilità dell’ordine di derivazione).
• Differenziali.
• Teorema 2 (del differenziale totale).
• Derivata direzionale.
• Gradiente.
• Teorema 1 (delle funzioni con gradiente nullo).
• Funzioni positivamente omogenee e insiemi stellati.
• Teorema 1 (omogeneità delle derivate parziali).
• Teorema 2 (di Eulero).
• Formule di Lagrange e Taylor.
• Massimi e minimi.
• Teorema 1 (di Fermat).

Spazi metrici

Sia S un insieme di natura qualunque non vuoto. Data una funzione fd : S x S R diremo che f è una distanza o metrica per l’insieme S se gode delle seguenti proprietà 1. d( x,y ) => 0 x, y S 2. d( x,y ) = 0 x = y x, y S 3. d( x,y ) = d( y,x ) x, y S 4. d( x,z ) <= d( x,y ) + d( y,z ) x,y,z S

La coppia formata da S e una sua metrica d si definisce spazio metrico.

Esempi di spazi metrici

( R , d( x,y ) = | x – y | )

Proprietà 1 : d( x,y ) => 0

È verificata perché il valore assoluto è sempre non negativo. Proprietà 2 : d( x,y ) = 0 x = y dimostriamo prima che d( x,y ) = 0 x = y  d( x,y ) = 0 | x – y | = 0 x – y = 0 x = ydimostriamo che x = y d( x,y )= 0  x = y x – y = 0 | x – y | = 0 d( x,y ) = 0

Proprietà 3: d( x,y ) = d( y,x )

d( x,y ) = | x – y |

d( y,x ) = | y – x | x – y = - ( y – x) | x – y | = | y – x | perché hanno lo stesso modulo, ma segno contrario.

Proprietà 4: d( x,z ) <= d( x,y ) + d( y,z )

d( x,y ) = | x – y |

Aggiungiamo e sottraiamo z d( x,y ) = | x – z + z – y | = | (x – z) + ( z – y ) | ma il valore assoluto della somma è minore o uguale alla somma dei valori assoluti. d( x,y ) <= | x – z | + | z – y | d( x,y ) <= d( x,z ) + d ( z, y )

Abbiamo dimostrato che d è una metrica per R.

Esempio 2

Prendiamo come insieme S = C( [a,b] ) l’insieme delle funzioni reali continue nell’intervallo chiuso a,b. C( [a,b] ) = { f : [a,b] R, continue in [a,b] }

Definiamo una distanza d su C( [a,b] ) come  d( f,g ) = max | f(x) – g(x) | x a,b

La differenza di due funzioni continue è ancora una funzione continua. Il valore assoluto di una funzione continua dà una funzione continua. La distanza d così definita è quindi una funzione continua in [a,b]. Proprietà 1: d( f,g ) => 0 f,g C([a,b])

Dal teorema di Weierstrass, una funzione continua e limitata in un intervallo chiuso [a,b] ammette un massimo e un minimo finiti. max(d( f,g )) ed, essendo d( f,g ) il valore assoluto di una differenza, d(f,g) è non negativo.

Proprietà 2: d( f,g ) = 0 f=g- dimostriamo d( f,g ) = 0 f=gd( f,g ) = 0 max( | f – g | ) = 0

Per la definizione di massimo x | f(x) – g(x) | <= max(| f – g |) [a,b] | f(x) – g(x) | <= 0 x [a,b]

Per definizione, il valore assoluto è non negativo x | f(x) – g(x) | = 0 [a,b]x f(x) – g(x) = 0 [a,b]x f(x) = g(x) [a,b]

 dimostriamo f= g d( f,g ) = 0x f(x) = g(x) [a,b]f(x) – g (x) = 0 x | f(x) – g(x)| = 0 [a,b]d ( f,g ) = 0  

Proprietà 3: d( f,g ) = d( g,f ) f,g C([a,b])  f(x) – g(x) = - (g(x) – f(x)) | f(x) – g(x) | = | g(x) – f(x) | x [a,b] le due funzioni sono uguali, quindi hanno lo stesso massimo. max(| g(x) – f(x) |) = max(| f(x) – g(x) |)

Proprietà 4: d( f,g ) <= d( f,h ) + d( h,g )

Diseguaglianza di Cauchy – Schwarz

 (ai (bi  2 2ai*bi <= ) + ) a1, ….. , an, b1, ………., bn R

 Primo caso: tutti i termini a sono uguali a zero. La diseguaglianza diventa  (0 (bi2 20*bi <= ) + )(bi20 <= ) che è sempre vera perché il secondo membro è non negativo.

 Secondo caso  i,j 1 <= i,j <= n : ai <> 0 e bj <> 0,  presi due qualunque R   2 2 20 <= ( - ) = + - 2 2 22 <= +  2 2<= ½ + ½

Applicando questa diseguaglianza con  2 2= a1 / ((ai )) = b1 / ((bi )) otteniamo 2 2a1*b1 a1 b1_____________ <= _______ + ________(ai2 2 2 2)*(bi ) 2*(ai ) 2*(bi )

Reiterando l’operazione 2 2a2*b2 a2 b2_____________ <= _______ + ________(ai2 2 2 2)*(bi ) 2*(ai ) 2*(bi )... 2 2an*bn an bn_____________ <= _______ + ________(ai2 2 2 2)*(bi ) 2*(ai ) 2*(bi )

Sommando membro a membro queste diseguaglianze ( (ai (bi2 2ai*bi) ) )_____________ <= ________ + ________(ai2 2 2 2)*(bi ) 2*(ai ) 2*(bi )(ai*bi)______________ <= ½ + ½ = 1(ai 2 2)*(bi )(ai*bi) (ai 2 2<= )*(bi )

Spazio euclideo ad n dimensioni

Si definisce spazio metrico euclideo ad n dimensioni, la coppia n( R , d ) ((x1-y1) ( 2 2 2d( x,y ) = + ………. + (xn – yn) ) = (xi – yi) 1 <= i <= nn

Verifichiamo che d, così definita, è una metrica per R .  n Proprietà 1: d( x,y ) => 0 x,y R d( x,y ), per come è definita, è la radice quadrata della sommatoria di termini positivi. Per cui è un numero reale non negativo

Proprietà 2: d( x,y ) = 0 x = y d( x,y ) = 0 x = y( ( 2xi – yi) = 0( 2xi – yi ) = 02( xi – yi ) = 0 1 <= i <= nxi = yi 1 <= i <= nx = y

 x = y d( x,y ) = 0xi = yi 1 <= i <= nxi – yi = 0 1 <= i <= n...(( xi – yi ) = 0d( x,y ) = 0   2

Proprietà 3: d( x,y ) = d( y,x ) x,y R( 2d( x,y ) = xi – yi )  2 2ma xi – yi = -( yi – xi ) ( xi – yi ) = ( yi – xi )( 2d( x,y ) = yi – xi ) = d( y,x )   n

Proprietà 4: d( x,y ) <= d( x,z ) + d( z,y ) x,y,z R( xi – yi ) = (( xi – zi ) + ( zi – yi )) 1 <= i <= n2 2 2 2( xi – yi ) = (( xi – zi ) + ( zi – yi )) = (xi – zi) + (zi – xi) + 2(xi – zi)(zi – yi)

( (xi (2 2 2xi – yi ) = – zi) + zi – yi ) + 2*(xi – zi)(zi – yi)

Applichiamo la diseguaglianza di Cauchy – Schwarz (xi (xi (zi2 2– zi)(zi – yi) <= – zi) – yi)(xi (xi (zi (zi2 2 2 2 2– yi) <= – zi) + – yi) + 2(xi – zi) – yi)

Il secondo membro è il quadrato di un binomio (xi (xi2 2 2 2– yi) <= ( – zi) +(xi – yi) ) essendo i due membri non negativi, possiamo estrarne le radici. (xi (xi (zi2 2 2– yi) <= – zi) + – yi)d( x,y ) <= d( x,z ) + d( z,y )

Cerchio e circonferenza

Supposto ( S,d ) uno spazio metrico, prendiamo   S’ S x0 S’ r >0 r RL’insieme I( x0,r ) = { x S’ : d( x,x0 ) < r } si definisce cerchio aperto di centro x0, e raggio r. L’insieme I( x0,r ) = { x S’ : d( x,x0 ) <= r } si definisce cerchio chiuso di centro x0 e raggio r. Ovviamente I( x0,r ) C( x0,r ).

Valgono le seguenti  x0 I( x0,r ) perché x0S, ed inoltre d( x0,x0 ) = 0 che è minore di r.    x0 C( x0,r ) perché x0 I( x0,r ) C( x0,r )

( L’insieme x0,r ) = { x S’ : d( x,x0 ) = r } si definisce circonferenza di centro x0 e raggio r. Questo insieme è detto anche intorno circolare di x0. ( x0,r ) C( x0,r )

Insieme limitato

Supposto ( S,d ) uno spazio metrico, prendiamo X un sotto - insieme di S. X si dice  R limitato se esistono x0 S e r positivo, tali che X I( x0,r ).

Diametro di un insieme X

Preso X non vuoto un sottoinsieme di S. Prendiamo ora in esame l’insieme delle distanze tra tutti gli elementi di S { d( x,y ), x,y R }. L’estremo superiore di questo insieme si definisce diametro dell’insieme X.

•  X è limitato il diametro di X è un numero finito.
•  Preso Y sottoinsieme di X, con X un insieme limitato, allora Y è limitato.
•  Presi X1 e X2 tali che X1 S  X1 è limitato X1 X2 è limitato X2 S
•  Dati X1, X2, entrambi sottoinsiemi di S limitati, la loro unione risulta un insieme a sua volta limitato.

Punti interni, esterni e di frontiera

 Dato ( S,d ) uno spazio metrico, supponiamo X S, x0 X.

 x0 si dice interno ad X se esiste un cerchio di centro x0 tutto contenuto in X   x0 interno ad X e R : I( x0,e ) X L’insieme dei punti interni ad X si denota con intX. Inoltre vale la seguente intX X

 x0 si dice esterno ad X se è interno al complementare di X in S.  e  x0 esterno ad X R : I( x0,e ) S\X L’insieme dei punti esterni ad X in S si denota con EstX. Inoltre valgono le seguenti:

•  IntX = Est( S\X)
•  EstX = Int( S\X )

 x0 si dice di frontiera per X se non è né interno né esterno ad X e    x0 di frontiera R x’ I( x0,e ) X  x’’ I( x0,e ) ( S\X) X.

L’insieme dei punti di frontiera di X si chiama frontiera di X, e si denota con X ( = S\X)

Punti di accumulazione

 Sia x0 S e X S, diremo che x0 è un punto di accumulazione per X se e    R x’ I( x0,e ) ( X – {x0}).

L’insieme dei punti di accumulazione di X si chiama derivato di X, e si indica DX.

 Se un insieme è costituito da un solo punto, allora il suo derivato è l’insieme vuotoTeorema : DX <> 0 X è infinito.

Per ipotesi, esisterà x0 DX. Prendiamo in considerazione il cerchio aperto I( x0,1 ). Essendo x0 un punto di accumulazione, esisterà a sua volta all’interno del cerchio considerato, un punto x1 distinto da x0. Dalla definizione di cerchio aperto, deduciamo le seguenti diseguaglianze:

•  d( x0,x1) < 1
•  d( x0,x1) > 0

Prendiamo quindi ora in considerazione il cerchio I( x0, d( x0,x1 )). Essendo x0 un punto di accumulazione, esisterà x2 X all’interno di questo cerchio. Per questo punto valgono le seguenti diseguaglianze 0 < d( x0,x2 ) < d( x0,x1 ) che dimostrano che x2 è un punto di X distinto da x1. Questo processo può essere ripetuto un numero arbitrario di volte, permettendoci di trovare altrettanti punti xi X tutti distinti. Ciò dimostra quindi che X è costituito da infiniti elementi.

Corollario : Un insieme finito non ha punti di accumulazione. Perché se li avesse, sarebbe infinito.

Insiemi discreti e aperti

Preso uno spazio metrico ( S,d ) ed un suo sottoinsieme X, X si dice aperto se coincide con l’insieme dei suoi punti interni. Con A indicheremo la famiglia degli insiemi aperti di S. Valgono le seguenti proprietà:

• 1. 0 A
• 2. S A
•    3. F A X( per tutti gli insiemi X di F) A
• 4. Siano X1, X2 ……….. Xn con n finito, degli insiemi aperti di S allora  X A

X si dice chiuso se DX X. Se DX = X allora il nostro insieme si dice perfetto. Inoltre se X è finito e DX = 0 allora X è chiuso. Denoteremo con la famiglia degli insiemi chiusi di S. Valgono le seguenti:

• 1. 0 è chiuso
• 2. S è chiuso    3. Se F è una famiglia di insiemi chiusi di S, allora X( X F)
• 4. Siano X1, X2, ………… Xn, con n finito, insiemi chiusi di S; allora   .X

Chiusura di un insieme

_ Sia ( S,d ) uno spazio metrico, ed X un sottoinsieme di S. L’insieme X = X DX si chiama chiusura di X.

_  XTeorema : X = X_ Essendo X = X DX per definizione, la nostra tesi diventa quindi   X;X DX = X in definitiva, dobbiamo mostrare che    X1. X DX X X  2. X X DX

Parte I:    sia x* X DX. Ci si presentano due casi : x* X oppure x* DX.   X.x* X : allora ovviamente appartiene anche ad X

x* non appartiene a X: Se x* non appartiene a X, ma appartiene ad X DX, allora apparterrà a DX. X,per provare che x* appartiene anche a occorre provare che e   x’ I( x*,e ) X  x’’ I( x*,e ) ( S\X)

Essendo tuttavia x* un punto di accumulazione, esisterà sicuramente un punto x1, distinto da x*, che appartiene all’insieme I( x*,e ) X. Per ipotesi x*, non appartenendo ad X, deve appartenere ad S\X. Essendo inoltre il centro del cerchio, egli deve necessariamente essere un punto dell’insieme I( x*,e ) ( S\X). Abbiamo così mostrato che x*, appartenente a DX, appartiene X.contemporaneamente.

A parte II:  X.sia x* appartenente ad X Esistono sempre due casi. Tuttavia se x* appartiene ad X, la situazione si risolve come nella prima parte. Prendiamo in considerazione invece il caso x* non appartiene ad X: X.Apparterrà allora sicuramente a Da ciò deduciamo, fissando R, arbitrariamente un e l’esistenza di altri due elementi di X distinti  x’ I( x*,e ) X x’’ I( x*,e ) ( S\X)

x’ è distinto da x* perché x* non appartiene ad X per ipotesi. Essendo valida l’esistenza di x’ per qualsiasi valore di e, si deduce che x* è un punto di accumulazione.

Teorema 2: Sia ( S,d ) uno spazio metrico ed X un sottoinsieme di S.  X X è chiuso X _

Teorema 3: X è chiuso X = X_X,

Teorema 4: DX, X sono insiemi chiusi.

  XTeorema 5: X è aperto X = 0

Teorema 6: I( x0, e), intX sono insiemi apertiTeorema 7: X è chiuso S\X è apertoTeorema 8: X è aperto S\X è chiuso   ,Teorema 9: Siano X,Y due sottoinsiemi di S tali che X A ed Y allora si ha   .che ( X\Y ) A ed ( Y\A )

 XTeorema 10: X è contemporaneamente aperto e chiuso = 0 Xparte I: X è aperto e chiuso = 0 X.Per definizione di insieme aperto, X non contiene Di conseguenza  Xotteniamo il risultato (a) X = 0. Essendo X chiuso, dal teorema 2 X deduciamo la (b) X. Mettendo a confronto la (a) e la (b), giungiamo alla tesi. X=0

Parte II: X è aperto e chiuso X=0,  XSe allora X = 0. Dal teorema 5 ricaviamo che X è aperto. Tuttavia l’insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme; quindi X=0  X. Dal teorema 2 ricaviamo quindi che X è chiuso.

Segmenti, punti isolati e poligonale

Preso in considerazione uno spazio euclideo ad n dimensioni, e due punti a=(a1,……nan) e b=(b1,….bn) appartenenti a questo spazio, definiamo segmento di R di estremi  na e b, l’insieme di punti { x R : xi = ai + t(bi-ai) } al variare di t nell’intervallo [0,1]. Per t=0 otteniamo il punto a; per t=1 il punto b; per t= ½ il punto medio del segmento.

Teorema11: Sia X un sottoinsieme proprio e non vuoto di uno spazio euclideo, e siano a un punto interno, b un punto esterno. Esiste allora un punto x* appartenente al segmento che congiunge a e b, che appartiene alla frontiera di X.

Questo equivale a dire che la frontiera di qualunque sottoinsieme proprio e non vuoto di uno spazio euclideo è non vuota.

Corollario: Gli unici sottoinsiemi infiniti di uno spazio euclideo che sono contemporaneamente aperti e chiusi sono l’insieme vuoto e lo spazio euclideo stesso.  n nSupponiamo per assurdo che esista X R con X<>0 e X <>R che sia Xcontemporaneamente aperto e chiuso. Per il teorema 10 allora = 0. Per il Xteorema 11 tuttavia <> 0. Siamo quindi pervenuti ad un assurdo.

Supponiamo X un sottoinsieme di uno spazio metrico ( S,d ); pre