“O piccolo, chi era costui!”
“O piccolo, chi era costui!” pensò Don Abbondio.
“O piccolo” (o) rappresenta una forma di resto qualitativa di un polinomio di Taylor. 3 16
Non si tratta di un determinato valore (non è quantitativo), non è 4x 23x, ma rappresenta qualcosa che tende a zero più velocemente del suo argomento: o(x) tende o ( x ) a zero più velocemente di x, cioè: lim 0xx 0
Utilizzo del piccolo o
Detto questo, partendo da un esempio ne spieghiamo il suo utilizzo.
2 x [tan( x )][sin( x )] 0 lim 2 x sin( x ) 0x 0
Utilizzando i limiti notevoli non si ottiene nulla. Potremmo usare Hopital ma non ci interessa ora e sarebbe più complicato e facile da sbagliare.
Utilizziamo Taylor: 3x 3 tan( x ) x o ( x )33x 3 sin( x ) x o ( x )6
Allora il limite diventa:
3 3 x x2 3 3 x x o ( x ) x o ( x ) 3 6 lim 2x 0 3 x2 3x x o ( x ) 3
Sviluppando i prodotti:
4 4 6 3 3 x x x x x2 2 3 3 3 3 3 3 x x xo ( x ) o ( x ) xo ( x ) o ( x ) o ( x ) o ( x ) 6 3 18 3 6 lim 6 4 3 x x xx 0 2 2 3 3 3 3x x x o ( x ) o ( x ) o ( x ) 2 xo ( x ) 36 3 3
Ovviamente si può semplificare: n m m nx o ( x ) o ( x )m m n o ( x ) o ( x )
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