Analisi matematica 1 - Funzioni

Funzioni analisi 1 - 9/10/13

Consideriamo A, B con A, B ≠ Ø.

Chiamiamo funzione da A in B un'applicazione che a ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B.

Applicazione = concetto primitivo (come "legge").

A = {studenti del 1º anno di ingegneria}

B = {corsi di laurea}

È una funzione suriettiva, ma non iniettiva.

ƒ: A ⟶ B

Studenti ⟼ corso di laurea a cui si è iscritto.

C = {stanze nei collegi}

ƒ: A ⟶ C

Studente ⟼ stanza di X non è una funzione.

D = {lingue del mondo}

ƒ: A ⟶ D

Studente ⟼ lingue conosciute da X non è una funzione.

ƒ(a){ipotesi} = {Italiano, Inglese}

ƒ: A ⟶ B funzione.

Dominio, codominio di ƒ.

ƒ(A) = {b ∈ B: ∃ a ∈ A b = ƒ(a)} immagine di ƒ.

ƒ: R ⟶ R.

Se ƒ è una funzione ed è rappresentata mediante una formula si chiama dominio della funzione {domƒ} il sottoinsieme di R in cui la formula ha senso.

Esempio: ƒ(x) = 1/x ⟹ domƒ = R\{0}, imgƒ = ]-∞, 0[ ∪ ]0, +∞[.

Data ƒ: A ⟶ B funzione diciamo che ƒ è suriettiva se: ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A: b = ƒ(a).

Diciamo che ƒ è iniettiva se: ∀ a₁, a₂ ∈ A, a₁ ≠ a₂ ⇒ ƒ(a₁) ≠ ƒ(a₂) o se: ƒ(a₁) = ƒ(a₂) ⇒ a₁ = a₂.

ƒ: A ⟶ N

Studente ⟼ numero di matricola di X. ƒ è iniettiva.

ƒ: N ⟶ N [200.000, 205.000]. ƒ è iniettiva e suriettiva ⇒ biettiva (o biunivoca).

Funzioni analisi 1 - 9/10/13

Consideriamo A, B con A, B ≠ ∅.

Chiamiamo funzione da A in B un'applicazione che a ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B.

Applicazione = concetto primitivo.

A = studenti del 1° anno di ingegneria.

B = corsi di laurea.

ƒ: A → B

Studente → corso di laurea a cui si è iscritto.

{stanze nei collegi}

ƒ: A → C

Studente → stanza di X → non è una funzione.

D = lingue del mondo.

ƒ: A → D

Studente → lingue conosciute da X → non è una funzione.

ƒ(α){ipotesi} = {Italiano, Inglese}

ƒ: A → B funzione.

Dominio, codominio di ƒ.

ƒ(A) = {b ∈ B : ∃ a ∈ A, b = ƒ(a)} immagine di ƒ.

ƒ : R → R.

Se ƒ è una funzione ed è assegnata mediante una formula si chiama dominio della funzione {domƒ}.

È sottoinsieme di IR in cui la formula ha senso.

Esempio: ƒ(x) = 1/x → domƒ = R \{0}, immƒ = {y ∈ R : y ≠ 0}.

x ∈ R \ {0}, y = 1/x → R \ {0}.

Data ƒ : A → B funzione diciamo che ƒ è surgettiva se: ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A: b = ƒ(a).

Diciamo che ƒ è iniettiva se: ∀ a₁, a₂ ∈ A, a₁ ≠ a₂, ƒ(a₁) ≠ ƒ(a₂) o se: ƒ(a₁) = ƒ(a₂) ⇒ a₁ = a₂.

ƒ : A → N

Studente → numero di matricola di X → ƒ è iniettiva.

{N ∈ {N | 208,000, 205,000}}

ƒ è iniettiva e surgettiva ⇒ biettiva (o biunivoca).

Notazioni

f: A → B funzione, K ⊆ A.

f(K) := {b ∈ B | ∃ a ∈ K | f(a) = b} = {f(a), a ∈ K} ⊆ f(A) ⊆ B.

f⁻¹(S) := {a ∈ A | f(a) ∈ S}.

N.B. Non confondere questa notazione con la funzione funzione inversa, poiché qui S è un insieme non è una funzione: dom f ⊆ A → B.

dom f ⊂ dom g.

f si dice restrizione di g a dom f.

g si dice estensione di f a dom g.

f⁻¹: l’opposto.

Ferrero, Ferraro → N.

g: {studenti primo anno} → N.

dom f = dom g.

Composizione di funzioni

f: A → B.

g: B → C.

Fuzion dom f ∩ dom g ≠ ∅.

goe(p {f(a)}, studente x → n° di matricole.

goff(f(x)): p → g o f ha senso: f o p non ha senso.

g o f ≠ e in generale non è detto che abbiano senso entrambe.

f(x) = √x.

g(x) = -x² + 4.

dom f = [0; +∞).

dom g = ℝ.

g o f ≠ f o g.

g o f(α) = g(f(x)) = g(√x) = -(√x)² + 4 = -x + 4, però questa funzione ha dominio.

dom g o f = [0; +∞).

f o g(x) = f(-x² + 4) = √(-x² + 4) non ha senso perché f o g non si può fare.

Img ≠ Ø.

dom g ≠ Ø.

Img ∩ dom f ≠ Ø, ma in questo caso Img ∩ dom f = Ø essendo dom f = [0; +∞).

Esempio

f(x) = x³.

f: ℝ → ℝ.

dom f = ℝ.

∃ f^-1?

f deve essere iniettiva ed è iniettiva ⇒ ∃ f^-1: ℝ → ℝ; f^-1(x) = ∛x.

y = x³.

x = ∛y.

f^-1 o f: A → A identità in A ⇒ ⊆d A.

f o f^-1: B → B identità in B ⇒ ⊆d B.

Analisi 1 - Esercitazione - 11.10.13

Esercizio 1

i⁴ + i² + ? = 0. i - i = 0.

Esercizio 2

• Non ha radici reali.
• Ha almeno due radici uguali.
• Ha 13 radici complesse (non reali) e una reale.
• Ha le radici coincidenti con i vertici di un poligono di 14 lati.

Esercizio 3

DET. ∃ ξ ∈ a.c. ξ(ℤ₂) ∈ ℝ.

ξ = { (-√3+ i) ; 2(√3 i cos 5π/6).

a₂ - δ ₆ a + 1 - ξ i(a; i; 2ξ) + (1/3 + i) + i √3 a - 1/ i ( a - √3 a ₂ ) + i (-√3 i - √3₂) + i + a (1 - √3/2 i) + 1 (- i √3 + a).

Questo numero è reale se -√3/3 - a = 0 ⇒ f₃d(a).

Analisi - 14/10/13

Funzioni

f: R → R ⇒ funzioni reali di variabile reale ⇒ y = f(x).

G(t) = graph f : {(x,y) ∈ R; x ∈ dom f, y = f(x)}.

Esempio: f(x) = √x.

dom f = x ∈ R; x ≥ 0.

Il sottoinsieme di R in cui la formula ha senso.

Im f = {f(x), x ∈ dom f}.

f suriettiva se Im f = R, esempio: y = x + 1 ⇒ f(x) = x + 1 ▼ suriettiva Sì.

∀ y₀, x₀ ∈ [ ... , ... ] ∃ x₀; y = f(x₀).

f iniettiva se a, x₁, x₂ ∈ dom f con x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂) oppure f(x₁) - f(x₂) = x₁ = x₂.

Esempio: g = x + 2 = f(x) = x + 1 ≠ inversa.

f non è né invertibile ma simmetrica.

∀ x₀, f(x₀) = y₀.

x ∈ dom f ⇒ f(x) = x².

lim_x→∞ = f(x); x = x’.

dom f = (-∞ ; +∞).

Im f = {0 ; +∞}.

∀ x₀, f(x₀) = y₀.

In queste note è possibile definire la funzione inversa.

Restrizione dell'intervallo: f simmetrica = f -1(x) = x_R.

Proprietà delle funzioni

f: ℝ → ℝ si dice pari se ∃ dom_f, -x ∃ dom_f ⇒ f(x) = f(-x).

Esempio: f(x) = x².

f: ℝ → ℝ si dice dispari se ∃ dom_f, x ∃ dom_f ⇒ f(x) = -f(-x)^f-1(x) pari x ogni x ∃ ℂ_∞; infatti f(-x) ≠ f(-(-x)).

Il grafico di f simmetrico rispetto all'asse y.

f(x) si dice dispari se x ∃ dom_f, -x ∃ dom_f ⇒ f(-x) = f(x) ⇔ "Il grafico di f simmetrico rispetto all'origine".

Composizione: l'insieme f di una funzione pari e di una funzione dispari; affinché se g o f, sia p o f, se o g.

Esercizio: Izz(f) = f dispari o f dom f = {0, r} f(0) opp.

f si dice periodica se esiste t tale che x ∃ dom_f ⇒ x+nT ∃ dom_f con n ∈ ℤ e inoltre vale f(x) = f(x+nT).

Definizione: −3 −2 −1 0 1 2 3.

x_1 x_2 x_3 x_4.

dom_f = f(x)=x f(x) periodica.

f se periodica se di e minimo t per cui vale la proprieta: x ∃ dom_f ⇒ x+mt ∃ dom_f con m ∈ ℤ, e inoltre vale f(x) = f(x+mT).

f si dice limitata inferiormente se esiste m ∃ R tale che f(x) > m ∀ x ∃ dom_f.

Esempio: f(x) = x. m = 1000.

Equivalente posso dire che dom_f un sottoinsiemi di R limitati inferiormente.

f si dice limitata superiormente se esist M ∃ &integers; tale che f(x) < M ∀ x ∃ dom_f.

Esempio: f(x) = -x.

f si dice limitata se esistono m, M ∃ &integers; tali che m < f(x) < M ∀ x ∃ dom_f.

Esempio: f(x) ∃ (0,5).

f è crescente se, ∀ x, y ∃ dom_f [x₁, x₂ ∃ dom_f [x₁, x₂ ∃ dom_f ⇒ f(x₁) 2)].

f è decrescente se [x₁, x₂ ∃ dom_f, &exists; x₁, x₂ ∃ dom_f ⇒ f(x₂) 1)].

f è strettamente decrescente [x₁, x₂ ∃ f(x₁) = f(x₁) 2)].

Esempio: f(x) → x = -2x+4, x+1>f(x)=f(x).

Nelle vare crescente e crescente e decrescente; f: &Ropf;, &Ropf; si dicono che f o f, e o f, f o f, sono crescenti.

Decrescenti si nessuna delle due.

A si dice massimo assoluto per f_x, dato f orientale E si dice massimo relativo per f se esiste E.

Example: x.

Analisi 1 - 15/10/13

y = ax + b ↔ f(x) = ax + b ↔ retta.

Esempio: y = 3x - 5 -> 3t - 5 RTX.

y = ax² + bx + c -> vertici ¹/₂g.

Esempio: y = x².

y = x^-m con m ∈ N, m ≥ 4.

m = 1 f(x) = ¶ x¹ T.

m = 4 f(x) = x⁴ e f = pari.

"e^x" funzione esponenziale, a = e = numero di Nepero.

f(x) = e^x → grafico A.

f(x) = e^-x → grafico B.

Funzioni trigonometriche o circolari.

f(x) = cosx ; dom f = ℝ.

cosx = cos(x + 2π).

senx = sen(x); → f(x) pari.

5) f(x) = tgx ; dom f = ℝ / {x ≠ π/2 + kπ, k ∈ ℤ}.

f(x) = coshx = (e^x + e^-x) / 2.

7) f(x) = |x| ; x ∈ ℝ.

f(x) = sgnx.

8) f(x) = H(x) = {0 per x < 0, 1 per x ≥ 0}.

Funzioni indicatrici di un insieme.

Esempio: 1_A(x) = { 1, 0.

Calcolo: Dimostrare che 1_A∩B(x) = 1_A(x) · 1_B(x) e trovare una formula per 1_AΔB(x).

Parte intera (funzioni) = E(x) = [ x ] = sotto più piccolo intero ≤ x.

Manfissa (funzioni) = H(x) = x - [ x ].

Funzione periodica di periodo T limitata.

Funzioni inverse

f(x) = ax + b = funzione affine = y = ax + b ; vogliamo trovare f^-1.

x = a ( y - b ) a ≠ 0.

Graph: { 1, x } R dom f = R = f(x).

Graph: { f, x } R², ¹ dom f = f^-1 (y).

Funzione logaritmica

f(x) = log_a x = def. log_a e c, y = a^z = funzione inversa della funzione esponenziale.

log_a k z = log_a a log_a z.

log_a (k · z) = log_a k + log_a z.

log_a (a) = 1. log_a 1 = 0.

Funzioni trigonometriche inverse

f(x) = sin x è periodica pertanto non è iniettiva, dunque non invertibile; occorre restringere il dominio.

sin x : [ -π/2, π/2 ] → [ -1, 1 ] = invertibile = f^-1 = arcsin x = l'angolo compreso fra [-π/2, π/2] il cui seno è x.

cos x : [ 0 ,π ] = inverso = f^-1 = arccos x = l'angolo compreso fra 0 e π il cui coseno è x.

f(x) = tg x = inverso = f^-1 = arctg x.