Analisi matematica - derivata

Derivata: misura del tasso di variazione di una funzione quantitativa

Definizione

Data f(n) si costruisce il rapporto incrementale ossia:

Δf = f(n+h) - f(n) Δn = (n+h) - n = h

Rapporto incrementale = ^Δf⁄_Δn = ^{f(n+h) - f(n)}⁄_h

Poiché Δn = h = tg θ => ^Δf⁄_h = tg θ

Il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta che passa per i punti di coordinate (n, f(n)), (n+h, f(n+h)).

Derivata

Misura del tasso di variazione di una funzione (quantità).

Definizione Data \( f(n) \) si costruisce il rapporto incrementale ossia: \( \Delta f = f(n+h) - f(n) \) \( \Delta n = (n+h) - n = h \)

Rapporto incrementale: = \( \frac{\Delta f}{\Delta n} = \frac{f(n+h) - f(n)}{h} \) Siccome \( \Delta f = h \cdot \tan \theta \Rightarrow \frac{\Delta f}{h} = \tan \theta \)

Il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta che passa per i punti di coordinate \( (n, f(n)) \) e \( (n+h, f(n+h)) \).

Definizione della derivata

Dato f(m), si definisce derivata della f(m) nel punto m il limite per h-0 del rapporto incrementale e si indica con f'(m), ovvero f'(m) = lim_h-0 (f(m+h)-f(m)) / h

Il limite del coefficiente angolare della retta secante (ossia la retta che passa per (m,f(m)) e (m+h,f(m+h))) tende a coincidere col valore del coefficiente angolare della retta tangente alla funzione f(m) nel punto (m,f(m)).

Esempio

f(m) = a*n+b lim_h-0 (f(n+h)-f(n)) / h = lim_h-0 a(n+h)+b-(an+b) / h == lim_h-0 an+ah+b-an-b / h = lim_h-0 ah / h = a f'(m) = b f'(n) = lim_h-0 (f(n+h)-f(n)) / h = lim_h-0 b-b / h = 0

La derivata di una curva è il coeff. angolare f(n)=n² lim_h→0 (f(n+h)-f(n))/h = lim_h→0 ((n+h)² - n²)/h = lim_h→0 (n² + 2nh + h² - n²)/h = lim_h→0 (2n + h) = 2n f(n)=n³ f’(n)=3n²

In generale è facile dimostrare che f(n)=n^s f(n)=s.n^s-1 ∀s∈ℝ f(n)= 1/n² = n^-2 f(n)= -2.n^-3 = -2/n³ f(n)= n^3/5 = n^5/3-1 f(n)= 5/B.n^-2/3 = 5/3 n^-2/3 = 5/3.1/n^2/3

Proprietà di derivazione della somma

• d/dn [f(n) + g(n)] = df/dn + dg/dn
• d/dn (c) = 0
• d/dn (an^s) = d/dn (a) n^s = a (dn^s/dn)
• d/dn [a · f(n)] = a · df/dn
• d/dn (n^s) = s n^s−1
• Se s = 1
• d/dn [f(n) · g(n)] = df/dn · g(n) + f(n) · dg/dn
• d/dn (e^kn) = c₀ a₁ e^kn
• d/dn (e^kn) = c₀ c₁ a_e a^kn
• d/dn (cosn) = -senn
• d/dn (senn) = cosn
• d/dn [f(n)/g(n)] = [f'(n)· g(n)−f (n)g'(n)] / [g(n)]²
• d/dn aⁿ = e^ln
• d/dn (f(g(n))) = df/dn · f(g(n)) · dg/dn

Derivata seconda

y = (ln)

Passi:

1. Campo di esistenza (dominio)
2. Simmetria e (pari) dispari (né pari né dispari) _{(Simmetrico rispetto a y) (Simmetrico rispetto all’origine)}
3. Intersezione con gli assi: y=0
4. Limiti
5. Derivata prima (max e min)
6. Derivata seconda (fuoco)

Data f(n) di _dm fornisce tasso di variazione di _f(n) di (df/ _dn) fornisce il tasso di variazione della variazione

Derivata seconda Concavità verso il basso > Concavità verso l’alto >