Analisi matematica I - derivate

Scheda riassuntiva

Il rapporto incrementale della funzione f(x) relativo al punto x_o e all’incremento h è dato dall’espressione:

Δy / Δx = [f(x_o + h) – f(x_o)] / h

Calcolando il limite per h → 0 del rapporto incrementale si ottiene la derivata della funzione f(x) nel punto x_o:

f'(x_o) = lim(h→0) [f(x_o + h) – f(x_o)] / h

Se questo limite esiste finito, si dice che f(x) è derivabile in x_o; quando il limite non è finito oppure non esiste, si dice che f(x) non è derivabile in x_o.

Una funzione non derivabile in x_o può però essere derivabile da sinistra o da destra di tale punto a seconda che esista finito il limite per h → 0^- oppure per h → 0⁺ del rapporto incrementale.

Regole di derivazione delle funzioni elementari

Per calcolare la derivata di una funzione si devono conoscere le regole di derivazione delle funzioni elementari:

• D[k] = 0
• D[x^a] = ax^a-1
• D[sin x] = cos x
• D[cos x] = –sin x
• D[log_a x] = 1 / x ln a
• D[ln x] = 1 / x
• D[a^x] = a^x ln a
• D[e^x] = e^x

Ed i seguenti teoremi:

• Derivata della somma: D[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)
• Derivata del prodotto: D[f(x) · g(x)] = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)
• In particolare D[k · f(x)] = k · f'(x) con k ∈ ℝ
• Derivata del quoziente: D[f(x) / g(x)] = [f'(x) · g(x) – f(x) · g'(x)] / [g(x)]²
• In particolare D[1 / g(x)] = –g'(x) / [g(x)]²
• Derivata della funzione composta: D[g(f(x))] = g'(f(x)) · f'(x)

In particolare se y = [f(x)]^g(x) allora y' = [f(x)]^g(x) · [g'(x) ln f(x) + g(x) · f'(x) / f(x)]

Derivate delle funzioni inverse

Dalla regola di derivazione delle funzioni inverse si ha poi che:

• D[arcsin x] = 1 / √(1 – x²)
• D[arccos x] = –1 / √(1 – x²)
• D[arctan x] = 1 / 1 + x²
• D[arc cotan x] = –1 / 1 + x²

Significato geometrico della derivata

Dal punto di vista geometrico f'(x_o), cioè la derivata calcolata nel punto x_o, rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in quel punto. Se la funzione è derivabile, l’equazione della retta tangente in P(x_o, f(x_o)) è quindi:

y – f(x_o) = f'(x_o) / m – (x – x_o)

Scheda riassuntiva

Il rapporto incrementale della funzione f(x) relativo al punto x₀ e all'incremento h è dato dall'espressione:

Δy/Δx = (f(x₀ + h) − f(x₀))/h

Calcolando il limite per h → 0 del rapporto incrementale si ottiene la derivata della funzione f(x) nel punto x₀:

f′(x₀) = lim_h→0 (f(x₀ + h) − f(x₀))/h

Se questo limite esiste finito, si dice che f(x) è derivabile in x₀; quando il limite non è finito oppure non esiste, si dice che f(x) non è derivabile in x₀.

Una funzione non derivabile in x₀ può però essere derivabile da sinistra o da destra di tale punto a seconda che esista finito il limite per h → 0⁻ oppure per h → 0⁺ del rapporto incrementale.

Regole di derivazione delle funzioni elementari

Per calcolare la derivata di una funzione si devono conoscere le regole di derivazione delle funzioni elementari:

• D[k] = 0
• D[x^α] = αx^α−1
• D[sin x] = cos x
• D[cos x] = −sin x
• D[log_a x] = 1/(x ln a)
• D[ln x] = 1/x
• D[α^x] = α^x ln α
• D[e^x] = e^x

Ed i seguenti teoremi:

• Derivata della somma: D[f(x) ± g(x)] = f′(x) ± g′(x)
• Derivata del prodotto: D[f(x) · g(x)] = f′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)
• In particolare D[k · f(x)] = k · f′(x) con k ∈ ℝ
• Derivata del quoziente: D[f(x)/g(x)] = (f′(x) · g(x) − f(x) · g′(x))/(g(x))²
• In particolare D[1/g(x)] = −g′(x)/(g(x))²
• Derivata della funzione composta: D[g(f(x))] = g′(f(x)) · f′(x)

In particolare se y = f(x)^g(x) allora y′ = f(x)^g(x) · (g′(x) ln f(x) + g(x) · f′(x)/f(x))

Derivate delle funzioni inverse

Dalla regola di derivazione delle funzioni inverse si ha poi che:

• D[arcsin x] = 1/√(1 − x²)
• D[arccos x] = −1/√(1 − x²)
• D[arctan x] = 1/(1 + x²)
• D[arcotan x] = −1/(1 + x²)

Significato geometrico della derivata

Dal punto di vista geometrico f′(x₀), cioè la derivata calcolata nel punto x₀, rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in quel punto. Se la funzione è derivabile, l'equazione della retta tangente in P(x₀, f(x₀)) è quindi:

y − f(x₀) = f′(x₀)/m − (x − x₀)

Casi particolari

Quando la funzione non è derivabile, si possono presentare i seguenti casi particolari:

• f'(x)_→∞, allora la retta tangente è parallela all’asse y
• La derivata sinistra e quella destra sono finite ma sono diverse, oppure una di esse è finita e l’altra infinita: allora a sinistra del punto P vi è una tangente e a destra ce n’è un’altra e si dice che P è un punto angoloso
• La derivata sinistra e quella destra sono infinite di segno opposto: allora la tangente in P è parallela all’asse y e si dice che P è una cuspide.

Differenziale di una funzione

Il differenziale di una funzione f(x) in un punto x è il prodotto della derivata della funzione per l’incremento Δx:

df(x) = f'(x) · Δx ed essendo Δx = dx df(x)_, = f'(x) · dx

Dal punto di vista geometrico il differenziale rappresenta l’incremento della variabile dipendente y calcolato sulla retta tangente anziché sulla funzione.

4. Derivate elementari

5. Regole di derivazione

• D(λf(x) + μg(x)) = λf'(x) + μg'(x)
• D(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
• D(f(x)/g(x)) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x))²
• D(f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)
• lim_x→0 ^αx-1/_x = log α
• lim_x→0 ^ex-1/_x = 1
• lim_x→0 sen x/x = 1 (x in radianti)
• lim_x→0 ^{1-cos x}/_x² = ¹/₂ (x in radianti)

Derivate

Derivata di una funzione in un punto

Sia f una funzione definita in un punto c, il limite f '(c) = lim_h→0 ^{f(c + h) - f(c)}/_h quando esiste si chiama derivata della funzione nel punto c.

Significato geometrico della derivata

f '(c) = m_t t retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa c

f '(c) = tg α

Derivate delle funzioni elementari

Regole di derivazione

Integrali

Integrali indefiniti immediati

• ∫ dx = x + C
• ∫ x^α dx = ^xα+1/_{α + 1} + C, con α ≠ -1
• ∫ ¹/_x dx = ln|x| + C
• ∫ sen x dx = -cos x + C
• ∫ cos x dx = sen x + C
• ∫ tg x dx = -ln|cos x| + C
• ∫ cotg x dx = ln|sen x| + C