Analisi Matematica

2) Calcoliamo le radici cubiche (quindi m=3)

-1 = e^iπ, dunque le tre radici cubiche sono W₀ = e^iπ/3, W₁ = e^{i(π + 2π/3)}, W₂ = e^{i(π + 4π/3)} cioè quelle ottenute come W_k = 3√-5 e^{i(π/3 + 2kπ/3)} per k=0,2.

In forma algebrica: W₀ = e^iπ/3 = cos π/3 + i sen π/3 == 1/2 + √3/2 i W₁ = e^iπ = -1 W₂ = e^{i 5π/3} = cos 5π/3 + i sen 5π/3 == 1/2 - √3/2 i

Come autoprova, calcoliamo ad esempio (W₀)³ = (1/2 + √3/2 i)³ = (1/2)³ + 3 (1/2)²(√3/2 i) ++ 3 (1/2)(√3/2 i)² + (√3/2 i)³ = 1/8 + 3√3/8 i + 3(√3/2)(-1)/8 + 3√3/8 i³ = 1/8 + 3√3/8 i - 3/8 - 3√3/8 i = -12)

Calcoliamo le radici cubiche (quindi m=3) 62 di -1

I.ed. -1 = e^-iπ, dunque le tre radici cubiche sono (qui s=1) W₀ = e^iπ/3, W₁ = e^{i(π/3 + 2π/3)}, W₂ = e^{i(π/3 + 4π/3)} cioè quelle ottenute come W_k = V_s³ e^{i(π/3 + 2kπ/3)} k=0,2.

In forma algebrica: W₀ = e^iπ/3 = cosπ/3 + i senπ/3 = 1/2 + √  3/2 i W₁ = e^iπ = -1 W₂ = e^i3π/3 = cos5π/3 + i sen5π/3 = 1/2 - √  3/2

Come controprova, calcoliamo nel esempio (W₀)³ = (1/2 + √  3/2 i)³ = (1/2)³ + 3(1/2)²(√  3/2 i) + 3(1/2)(√  3/2 i)² + (√  3/2 i)³ = 1/8 + 3√  3 i/8 + 3 i/8 - 3√  3 i/8 = -1

Introduzione alla topologia in ℝ

Definizione

I ⊆ ℝ si dice "intervallo limitato" se esistono a, b ∈ ℝ, a ≤ b, tali che I ha una delle seguenti forme:

• {x ∈ ℝ | a < x < b}
• {x ∈ ℝ | a ≤ x < b}
• {x ∈ ℝ | a < x ≤ b}
• {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}

Per questo tipo di insiemi usiamo le seguenti scritture equivalenti:

• (1) ]a, b[
• (2) [a, b[
• (3) ]a, b]
• (4) [a, b]

I numeri a e b si dicono "estremi dell'intervallo".

(1) si dice "intervallo aperto di estremi a e b".

(2) e (3) si dicono "intervallo semi-aperto di estremi a e b", rispettivamente semi-aperto a destra e semi-aperto a sinistra.

(4) si dice "intervallo chiuso di estremi a e b".

Intervalli illimitati

1.R si dice "intervallo illimitato superiore" se I ∈ R tale che I è del tipo:

• (5) x ∈ R| c < x
• (6) x ∈ R| c ≤ x

Si dice "intervallo illimitato inferiormente" se è del tipo:

• (7) x ∈ R | x < e
• (8) x ∈ R | x ≤ e

Questi intervalli verranno denotati attraverso le scritture, rispettivamente:

• (5') I ] c, +∞ [
• (6') [ c, +∞ [
• (7') ] -∞, e [
• (8') ] -∞, e]

E si diranno:

• (5"') "Intervallo illimitato superiormente aperto"
• (6"') "Intervallo illimitato superiormente chiuso"
• (7"') "Intervallo illimitato inferiormente aperto"
• (8"') "Intervallo illimitato inferiormente chiuso".

Nei primi due casi si dirà che "c è l'estremo inferiore", negli altri due casi si dirà che "e è l'estremo superiore".

Esempi

• [2, 3[ La tratteggiatura indica ed individua sulla retta reale i punti dell’intervallo. I cerchietti in corrispondenza di 2 e 3 indicano che 2 e 3 non appartengono all’intervallo.
• [-1, 1/2] Il punto pieno in corrispondenza di -1 indica che -1 appartiene all’intervallo.
• ]–∞, -2]

Osservazione

Se a = b, allora (1) = ∅, (2) = ∅, (3) = ∅, (4) = {a}.

Osservazione

Ogni estremo inferiore (risp. superiore) di un intervallo è estremo inferiore in senso insiemistico (risp. superiore in senso insiemistico). Se in più l’intervallo contiene anche quell’estremo inferiore (risp. superiore), esso è minimo dell’insieme (risp. massimo).

Esempio

1) I=[3,5[ ha 3 come estremo inferiore e 5 come estremo superiore.

Proviamo 3=inf I.

Per definizione x ∈ I <> 3 < x < 5, dunque 3 è un minorante.

Mostriamo la 2° proprietà dell'inf.

Sia ε > 0, facciamo vedere che esiste un numero in I più piccolo di 3+ε. Siccome ε è arbitrario, s