Analisi Matematica 2- teoria

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Esame Analisi matematica 2

Facoltà Ingegneria

Università Università della Calabria

A.A. 2016-2017

77 pagine

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Grafici ed insiemi di livello

Grafico

Grafico → f: A ⊆ ℝⁿ → ℝ, z = f(x).

Per n = 2 tale grafico vive nello spazio.

Per n = 3 il grafico vive in uno spazio di dimensioni ℝ⁴.

Curve di livello

Curve di livello → un grafico a curve di livello è un disegno nel piano in cui si tracciano le linee lungo le quali f ha un valore costante.

f(x,y) = K con K costante.

Esempi

1 - f(x,y) = x² + y²

x² + y² = e → circonferenze centrate nell'origine e raggi: 1, √2, √3, 2...

Il grafico della figura sarà un paraboloide.

2 - f(x,y) = √(x² + y²)

√(x² + y²) = e → x² + y² = 1 → circonferenze centrate nell'origine e x² + y² = 2² = 4, raggi: 1, 2, 3...

x² + y² = 9

x² + y² = 16

Il grafico della figura è un cono.

Grafici ed insiemi di livello

Grafico

Grafico → f: A ⊆ R^m → R, z = f(x).

Per m = 2 tale grafico vive nello spazio.

Per m = 3 il grafico vive in uno spazio di dimensioni ≥ 4.

Curve di livello

Curve di livello → un grafico a curve di livello è un disegno nel piano in cui si tracciano le linee lungo le quali f ha un valore costante.

f(x,y) = k con k costante.

Esempi

1 - f(x,y) = x² + y²

x² + y² = e → circonferenze centrate nell'origine e raggi: 1, √2, √3, 2...

Il grafico della figura sarà un paraboloide.

2 - f(x,y) = √(x² + y²)

√(x² + y²) = e → x² + y² = 1 → circonferenze centrate nell'origine e raggi: 1, 2, 3...

x² + y² = 9

x² + y² = 16

Il grafico della figura è un cono.

3. f(x,y) = x² - y²

x² - y² = e

Per e = 0 → y = ±x.
Per e ≠ 0 → sono iperboli equilatere aventi le rette y = ±x come asintoti.
Se e > 0 → iperboli con vertici sull'asse x.
Se e 0 → iperboli con vertici sull'asse y.

Insiemi

Sia E ⊆ ℝⁿ e x₀ ∈ ℝⁿ.

x₀ è interno ad E se ∃r > 0: B(x₀;r) ⊆ E.

x₀ è esterno ad E se ∃r > 0: B(x₀;r) ∩ E = ∅.

x₀ è di frontiera per E se ∀r > 0: B(x₀;r) ∩ E ≠ ∅ e B(x₀;r) ∩ E^c ≠ ∅.

Esempi

1 - E = {(x,y) ∈ ℝ² : x² - y ≥ 0, x + y > 0, x + y ≠ 1}.

2 - Sia E = {(x,y) ∈ ℝ² : x² + y² ≤ 1 e y > x²}.

(0, ¹/₂) è interno ad E.
(1,0) è esterno ad E.
(0,0) è di frontiera per E (non appartiene ad E).
(0,1) è di frontiera per E (appartiene ad E).

3 - E₁ = {(x,y ) ∈ ℝ² : x² + y²

Insieme aperto.

E₂ = {(x,y) ∈ ℝ² : 2x + 3y - 1 = 0}

Insieme chiuso.

E₃ = {(x,y) ∈ ℝ² : x² + y² ≤ 1 e y 2}

Insieme né aperto né chiuso.

E^o = insieme dei punti interni di E (interno di E).

∂E = frontiera e bordo di E.

Ē = insieme E∪∂E (chiusura di E).

4. Sia E il "cerchio bucato":

E = {(x,y)∈ℝ²: 0<x²+y²≤1}

∂E = {(x,y)∈ℝ²: x²+y²=1} ∪ {(0,0)}

Ē = {(x,y)∈ℝ²: x²+y²≤1}

E^o = {(x,y)∈ℝ²: 0<x²+y²<1}

Derivate parziali

f(x,y) = x²y³

f_x = 2xy³

f_y = 3x²y²

Piano tangente

z = f(x₀, y₀) + f_x(x₀, y₀)(x-x₀) + f_y(x₀, y₀)(y-y₀)

1. z = x² + y² nel punto (1,1)

f_x = 2x

f_y = 2y

f_x(1,1) = 2

f_y(1,1) = 2

f(x₀, y₀) = 2

z = 2 + 2(x-1) + 2(y-1)

z = 2 + 2x - 2 + 2y - 2

z = 2x + 2y - 2

f(x,y) = x y / (x² + y²) se (x,y) ≠ (0,0)

0 se (x,y) = (0,0)

Le derivate parziali di f nell'origine esistono e sono nulle, dunque il piano tangente sarà: z = 0.

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