Topologia in R
Distanza R1
d(x1, x2) = |x1 - x2|
R2
Siano P1(x1, y1) e P2(x2, y2), la loro distanza è d(P1, P2) = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
R3
Siano Q1(x1, y1, z1) e Q2(x2, y2, z2), la loro distanza è d(Q1, Q2) = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2)
Rn
Siano x = (x1, x2, x3, ..., xn) ∈ Rn e y = (y1, y2, y3, ..., yn) ∈ Rn
d(x, y) = √(Σi=1n(xi - yi)2)
La distanza è un'applicazione Rn x Rn → R* ∪ {0} [ha come immagine un numero reale positivo al più nullo]
Gode delle seguenti proprietà
- d(x, y) ≥ 0
- d(x, y) = 0 ⇔ x ≡ y (la distanza è nulla se e solo se i due punti coincidono)
- d(x, y) = d(y, x) (la distanza da x e y è uguale alla distanza da y e x)
- df(x, y) ≤ d(x, y) + d(z, y) disuguaglianza triangolare
Topologia in R
Distanza R
d(x1, x2) = |x1 - x2|
R2
Siano P1(x1, y1) e P2(x2, y2), la loro distanza è d(P1, P2) = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
R3
Siano Q1(x1, y1, z1) e Q2(x2, y2, z2), la loro distanza è d(Q1, Q2) = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2)
Rn
Siano x = (x1, x2, x3, ..., xn) ∈ Rn e y = (y1, y2, y3, ..., yn) ∈ Rn
d(x, y) = √(Σa=1n(xa - ya)2)
La distanza è un'applicazione Rn × Rn → R+ ∪ {0} (ha come immagine un numero reale positivo al più nullo)
Gode delle seguenti proprietà
- d(x, y) ≥ 0
- d(x, y) = 0 ↔ x = y (la distanza è nulla se e solo se i due punti coincidono)
- d(x, y) = d(y, x) (la distanza da x a y è uguale alla distanza da y a x)
- df(x, y) ≤ d(x, y) + d(x, f) (diseguaglianza triangolare)
Intorno
Insieme dei punti che distano da un punto P0 meno di un δ
R2
Intervallo x0 - δ < x0 + δ, P(x) generico punto, d(P, P0) < δ
d(P, P0) = √((x - x0)2 + (y - y0)2) < δ
Cerchio di centro P0 e di raggio δ privato della circonferenza
R3
Sfera di centro Q0 e di raggio δ privata della sua superficie
Punto interno
P0 è interno all'insieme D se: IP0,δ ⊂ D
Esiste un intorno di P0 di ampiezza δ incluso nell'insieme D, cioè l'intorno contiene tutti i punti dell'insieme
Punto esterno
P0 è esterno all'insieme D se è interno al complementare di D (DC) IP0,δ ⊂ DC
Esiste un intorno di P0 di ampiezza δ incluso nel complementare dell'insieme
Punto di frontiera
P0 è un punto di frontiera se: IP0,δ nello stesso cadono punti di D e punti di DC
Frontiera (o derivato), qualsiasi intorno in esso cadono punti dell'insieme D e del suo complementare
Punto di accumulazione
P0 è un punto di accumulazione se Vc cade in un punto e D in P0 se, cade un punto di D in P0 - P0, solo se esistono infiniti.
Punto isolato
P0 è un punto isolato se Pc - P0 in cui non cade nessun punto dell'insieme.
Insieme aperto
A si dice aperto se V P è A allora ∃ P ∈ A.
Per qualunque punto di A esiste un intorno incluso in A, cioè ogni intorno di P è formato da punti dell'insieme un insieme aperto è formato da punti interni [ a ; b ], x + y = r2 (cerchio senza circonferenza), y ≤ x - 1
y ≥ 0
0 ≤ x ≤ 1 (triangolo senza lati)
Insieme chiuso
A si dice ch
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