Analisi Matematica 2 - Teoria

Analisi II: integrali impropri

Prendiamo 2 insiemi:

• I: (a, +∞)
• II: (a, b]

Consideriamo ora il primo caso, cioè dove abbiamo funzioni definite in un intervallo non limitato. Il valore dell'integrale (quando esiste finito o infinito) si definisce come:

∫_a^+∞ f(x) dx = lim_b→+∞ ∫_a^b f(x) dx

Se tale limite risulta finito diremo che l'integrale è convergente. Se tale limite risulta +∞ o -∞ diremo che è divergente. Se il limite non esiste l'integrale improprio sarà indeterminato.

Esempio

∫₀^+∞ dx / (1 + x²)

lim_b→+∞ ∫₀^b 1 / (1 + x²) dx = lim_b→+∞ arc tg b = π/2

Analisi II: integrali impropri

Prendiamo 2 insiemi:

• I: (a; +∞)
• II: (a; b]

Consideriamo ora il primo caso, cioè dove abbiamo funzioni definite in un intervallo non limitato. Il valore dell’integrale (quando esiste finito o infinito) si definisce come.

Se tale limite risulta finito, diremo che l’integrale è convergente.

Se tale limite risulta ±∞ diremo che è divergente.

Se il limite non esiste l’integrale improprio sarà indeterminato.

Esempio

Criterio del confronto

Siano f, g : [a, +^∞) → R due funzioni localmente integrabili e tali che 0 ≤ f(x) ≤ g(x)   ∀x > a.

Avremo quindi che      a_¹∞ ∫ f(x) dx ≤ ∫ g(x) dx.

Vediamo quindi che se converge l'integrale della funzione maggiore g allora converge anche l'integrale della funzione minore (vale lo stesso per la divergenza).

Esempio

f(x) = ^sen2x⁄_x³ ha integrale improprio in [1, +^∞).

La funzione infatti è positiva e si ha 0 ≤ ^sen2x⁄_x³ ≤ 1⁄x².

Poiché a_¹∞ ∫1/x² dx è convergente, l’integrale della funzione data è convergente.

Esempio

Studio il carattere del seguente integrale:

  ∫^+∞ 1/√x + c·dx^osx

Vediamo che la funzione integrante è sicuramente positiva in [1, +^∞) per cui possiamo applicare il confronto. Vediamo che per valori alti la funzione si approssima al ¹/√x e che quindi il suo integrale sia divergente.

Possiamo minimare la funzione integranda con una funzione il cui integrale sia divergente.

e^√x ≤ □⁄√x + cosx   (∀x ≥ 1)

Di conseguenza l'integrale assegnato è divergente.

In generale possiamo affermare che, date 2 funzioni f e g localmente integrabili e positive avremo che:

• Se 0 < λ < +∞ l'integrale di f e quello di g hanno lo stesso carattere.
• Se λ = 0 se l'integrale di g converge allora converge anche quello di f.
• Se λ = +∞ se l'integrale di g diverge, allora diverge anche quello di f.

Esempio

Prova che _[0,+∞] x^-1 arctg x dx è convergente confrontandolo con g(x) = ¹/_x².

lim _x→+∞ f_g(x) = lim _x→+∞ x arctg x ⋅ ¹/_x² = lim _x→+∞ arctg x ⋅ [^{arctg t}/_{1 + t²}]₀^+∞ = 1

λ = 1 quindi se g converge allora anche l'integrale di f converge.

Criterio della convergenza assoluta

Data f: [a, +∞) → ℝ funzione localmente integrabile, possiamo affermare che se converge l'integrale di |f| allora converge anche l'integrale di f.

_a∫^+∞ |f(x)| dx ≤ _a∫^+∞ |f(x)| dx

Esempio

f(x) = ^{cos x}/_{1 + x²}

Dato che per il confronto ^{|cos x|}/_{1 + x²} ha integrale assolutamente convergente allora f(x) sarà assolutamente convergente in [0, +∞).

Per le funzioni localmente integrabili ƒ: (c, b] → ℝ valgono gli stessi criteri. Prendiamo ora la funzione definita in un intervallo limitato (a; b].

∫_a^b ƒ(x) dx = lim_{c → a⁺} ∫_c^b ƒ(x) dx

Se tale limite è finito l'integrale sarà convergente.

Se tale limite vale +∞, -∞ l'integrale sarà divergente.

Esempio

(0; 1] ∫₀¹ x^α dx α > 0

lim_{c → 0⁺} ∫_c¹ x^α dx =