Analisi Matematica 2 e Complementi di Algebra Lineare - Teoria A

Geometria e complementi di analisi algebra dei vettori

Vettore

Vettore: ente matematico utilizzato x identificare un fenomeno quando non è sufficiente un numero reale scalare.

Rappresentato da un segm. orientato.

Norma: lung. |V| = AB.

Direz. retta di appartenenza.

Verso: frecce.

O = AA (punto origine).

Definizione

Def: 2 segm. orientati AB, CD si dicono equivalenti se e... oppure:

1. A-B, C-D (estrabili nulli).
2. AB, CD (nella stessa retta mettono uguale il modulo e verso opposto).
3. AB, CD restano opposti e complementari orientati in un parallelogramma.

Proprietà

Riflessiva: AB = AB.

Simmetrica: AB = CD = CD = AB.

Transitiva: AB = CD e CD = EF => AB = EF (applicabile per stessi vettori, punto medio dello stesso verso della direzione stessa retta).

Operazioni sui vettori

1. Somma e differenza.

Regola del parallelogramma: che ha per lati 2 addendi (NB: se U e V sono 1 la somma coincide con la somma dei segn. sulla stessa retta).

Proprietà della somma

Commutativa: V+U = U+V.

Associativa (U+V)+W = (U+V)+W.

Zero.

Opposto U+(-U) = 0 (U = -U) t.c. U+V = 0.

Prodotto esterno scalare

Norma: |αU| = |α||U|.

Direz.: U.

Verso: U a > 0, -U a.

Proprietà del prodotto esterno scalare

Distributiva: Scalare (x+β)U = αU+βU.

Vettore (U+V) = αU+αV.

Associativa (αβ)U = α(βU).

Unita 1U = U.

Opposto -1U = -U.

Combinazione lineare

Combinazione lineare: vengono U1, V2, ... Vn a coeff α1x1, α2x2, ...nC1 U α1V1 + ... α1Vn...R.

Combinazione lineare di 1 solo vettore: sulla stessa retta generato da V se v = o stesso raggio di U.

Un combinazione lineare di 2 vettori: V=αU+βW.

Combinazione lineare sempre 3 vettori (α), combinato con W genera tutti i vettori dello stesso span, W è sempre il suo ortogonale a una base a coppie.

Geometria e complementi di analisi algebra dei vettori

Vettore

Vettore: ente matematico utilizzato per identificare un fenomeno quando non è sufficiente un numero reale x scalare.

Rappresentato da un segm. orientato.

NB vettore (x).

O = A (punto).

Norma lunghezza IVI = AB.

Direz del retta a cui appartiene.

Verso freccia x.

Definizione

Def: 2 segm. orientati AB, CD si dicono equipollenti se x = B oppure:

1. A, B, C, D - (Estrabilis nulli).
2. AB, CD APA stessa retta, modulo e verso.
3. AB, CD 1 est. opporsi Y equivalente orientati di un parallelogramma.

Proprietà

Riflessiva AB = AB.

Simmetrica AB = CD = CD = AB.

Transitiva AB = CD = CD = EF = AB = EF.

Operazioni sui vettori

1. Somma e differenza.

Regola del parallelogramma - diagonale del parallelogramma che per lati 2 addensati.

NB se u e v sono I somma colineali con la somma dei segm. sulla stessa retta.

Commutativa: v + u = v.

Associativa: u + (v + w) = (u + v) + w.

Zero: u + 0 = u.

Opposto: u + (-u)= 0 t.c. u + (-u)=0.

2. Prodotto esterno.

Scalare

Scalare { Norma: |α. u| = |u| se α = 0.

Direz: u se α = 0.

Verso: u se α > 0 -u se.

Proprietà

Propri: Distributiva scalare (x+β)u = αu+βu.

Vettore: (u+v)α = αu+αv.

Associativa (αβ)u = (βα)u.

Unita α = u.

Opposto -u = u.

Combinazione lineare

Combinazione lineare: v1, v2, ..., vn a coeff. a1, a2, ..., an.

1. Comb. lineare di 1 solo vettore: u stessa retta generato da v se x è.
2. Comb. lineare di 2 vettore: x = αu+βw.
3. Comb. lineare di 3 vettore: x = αu+βv+βw.

Rappresentazione analitica

Sistema di riferimento composto da terne ordinate di numeri reali che rappresentano un vettore attraverso le sue componenti.

E corrispondenza biunivoca (^V space R³) terna ordinata di reali.

3 vettori i, j, k linearmente indipendenti.

Nel nullo 2 a 2 → max 11 = n Vett. Basi Ute = Span.

Proiettando il vettore u in maniera || ad ogni vettore i, j, k ottengo un'iso R Ultraice: u = ai + bj + ck.

Componenti delle somme devono essere ordinatamente. Definire.

Elementi ordinati dei 2 vettori x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃.

Com. del prod. est. x: V solo date del prod. di ogni componente dei vettori a seconda (x₁, x₂, x₃) → (x₁y₂ - x₂y₁, x₁y₂ + x₂y₃).

Abbiamo introdotto in P3 l'operatore di somma e prodotto est.

Base ortonormale

Base ortonormale: (Destorsa).

Assumo che i vettori i, j, k abbiano norma unitaria.

Versori 1, e siano 2 a due ortogonali.

i . j = 0.

i . k = 0.

j . j = 0.

ↁ i = j ∧ z ⧷ i = j ∧ y album.

3. Prodotto scalare

Prodotto scalare V x V → R.

u x v = ||u|| ||v|| cos (u,v) se (u,v) ≠ 0 in questo caso u x v = 0 cond. = Necess. & Suffic.

→ Misurare segmento → scelgo unità di misura AB → x.

→ Misurare angolo → Radiante unità di misura intrinseca ^R_A ^_V