Analisi Matematica 2 e Complementi di Algebra Lineare - Temi d'Esame svolti

Test 1

Ogni domanda può avere 0,1,2,3,4 risposte vere. Una risposta errata ad un quesito a risposte multiple invalida l’intero esercizio.

R 31.1 - Algebra dei vettori

1a - Siano u = [0,1,1], v = [1,-1,2]: se [-3,5,-4] = αu+βv allora α e β sono rispettivamente: α=1 β=2; α=−1 β=3; α=2 β=3; α=2 β=−3.

• a) α=1 e β=2
• b) α=−1 e β=3
• c) α=2 e β=3
• d) α=2 e β=−3

2a – Posto OA=u= [0,1,1], OB=v = [1,-1,2], e M il punto medio del segmento AB, sia OM=w:=

• a) w = [0,-1/2,1/2]
• b) w = [1/2,0,1]
• c) w = [1/2,0,2]
• d) w = [1/2,0,3/2]

3a – Siano u = [0,1,1], v = [1,-1,2]: il prodotto u X v vale:

• a) −2
• b) [3,1,-1]
• c) 1
• d) [0,-1,1]

4a – Siano u = [0,1,1], v = [1,-1,2]: il prodotto u∧v vale:

• a) −2
• b) [3,1,-1]
• c) 1
• d) [0,-1,1]

5a – Sia θ l’angolo tra u = [0,1,1] e v = [1,-1,2]: allora:

• a) 0< cos θ < 1/2
• b) 1/2 < cos θ < 2^1/2/2
• c) 2^1/2/2 < cos θ < 3^1/2/2
• d) 3^1/2/2 < cos θ <1

6a – Indica, tra i seguenti vettori, i versori di u = [0,1,1] o di v = [1,-1,2].

• a) [0, - 2^1/2 / 2, 2^1/2 / 2]
• b) [0, 6^1/2 / 6, 6^1/2 / 6]
• c) [0, 2^1/2 / 2, 2^1/2 / 2]
• d) [- 6^1/2 / 6, 6^1/2 / 6, - 6^1/2 / 6]

7a – Il volume del parallelepipedo di cui tre spigoli sono u = [0,1,1], v = [1,-1,2], w = [1,1,1] vale:

• a) 0
• b) 1
• c) 2
• d) 3

8a – Indica, tra i seguenti vettori, quelli ortogonali sia a u = [0,1,1] che a v = [1,-1,2].

• a) [0,-1,1]
• b) [-3,-1,1]
• c) [1,-1,-1]
• d) [3, 1,-1]

9a – Siano w₁ = [-1,1,-2], w₂ = [0,1,1], w₃ = [1,0,3], w₄ = [3,0,-2]. Quali sono terne di vettori linearmente dipendenti?

• a) w₁, w₂, w₃
• b) w₁, w₂, w₄
• c) w₁, w₃, w₄
• d) w₂, w₃, w₄

10a – Siano a, b, c tre vettori qualsiasi di R³, e sia a∧b = λx, e b∧c = μx, allora:

• a) a∧c = -λμ
• b) a∧c = -1/λμ
• c) a∧c = λμ
• d) a∧c = 1/λμ

Test 2

Ogni domanda può avere 0,1,2,3,4 risposte vere. Una risposta errata ad un quesito a risposte multiple invalida l’intero esercizio.

1.2 - Applicazione alla geometria analitica

11b – Indica, tra i seguenti vettori, quelli che rappresentano la direzione del piano di equazione 3x-2y-3z-5=0.

• a) [3,-2,-5]
• b) [3,-3,-5]
• c) [-3,2,3]
• d) [6, -4,-6]

12b – Indica, tra i seguenti vettori, quelli che rappresentano la direzione del piano che passa per i punti A(1,2,1), B(2,3,1), C(6,2,4).

• a) [3,-2,-5]
• b) [3,-3,-5]
• c) [-3,2,3]
• d) [6, -4,-6]

13b – Dato il piano di equazione α: x = 1+s+5t, y = 2+s, z = 1+3t, indica, tra i seguenti piani, quelli paralleli ad α.

• a) −3x+2y+3z=0
• b) 6x −4y−6z+5=0
• c) 3x-2y-5z+7=0
• d) 3x-3y-5z+3=0

14b – Dato il piano di equazione α: −3x+2y+3z=0, indica, tra i seguenti piani, quelli ortogonali ad α:

• a) 3x-2y+3z-7=0
• b) 2x +6y−2z+5=0
• c) 3x-2y-5z+7=0
• d) 3x+3z+7=0

15b – Indica, tra i seguenti piani, quelli paralleli all’asse y.

• a) 2y+3z-7=0
• b) 2x +6y+5=0
• c) 3x-2y-5z=0
• d) 3x+3z+7=0

16b – Indica, tra i seguenti piani, quelli paralleli al piano xz.

• a) 2y-7=0
• b) 6y+5=0
• c) -5z+2=0
• d) 3x+3z+7=0

17b – Indica, tra i seguenti piani, quelli che passano per l’origine.

• a) 3x-2y+3z-7=0
• b) 2x +6y−2z+5=0
• c) 3x-2y-5z+7=0
• d) 3x+2y-3z=0

18b – Indica, tra i seguenti piani, quelli paralleli al piano 2x +6y−2z+5=0 e passanti per (1,2,3).

• a) x+3y-z-4=0
• b) 2x +6y−2z-5=0
• c) 3x-2y-5z+7=0
• d) 3x+3y-3z=0

19b – Quale è la distanza del punto (-1,1,2) dal piano x-2y-2z+8=0.

• a) −1
• b) 2/3
• c) 1/3
• d) 2/5

20b – Quale è la distanza tra i piani x-2y-2z+8=0 e x-2y-2z+16=0.

• a) 8/3
• b) 8
• c) 4/3
• d) 1/3

21b – Quale è il coseno del minore degli angoli formati tra i piani x+2y-2z+8=0 e 4x-z+1=0.

• a) 4/3
• b) 1
• c) 2/3
• d) 1/3

22b – Quale è il coseno del minore degli angoli formati tra le rette x = 1+s, y = 2+2s, z = 1−2s e x = 1+4t, y = 2, z = 5−3t.

• a) 1/3
• b) 2/3
• c) 1
• d) 4/3

23b – Quale è il seno del minore degli angoli tra la retta x = 1+s, y = 2+2s, z = 1−2s e il piano 8x-6z+1=0.

• a) 2/3
• b) 4/3
• c) 2
• d) 8/3

24b – Indica, tra i seguenti piani, quelli che appartengono al fascio di piani generato da x+2y-2z+8=0 e da 4x-3z+1=0.

• a) 3x-2y+3z-7=0
• b) 5x -6y−22=0
• c) 3x-2y-5z+7=0
• d) 3x-2y-z-7=0

25b – Quale piano del fascio generato da x+2y-2z+8=0 e 4x-3z+1=0 passa per (1,-1, 3).

• a) 8x -8y−11z+17=0
• b) 8x +8y−11z+33=0
• c) 8x-8y-11z+27=0
• d) 8x+8y-11z+23=0

26b – Indica, tra le seguenti rette, quelle che passano per il punto (1,1,-1) e sono parallele al piano 4x-z+1=0.

• a) x=s, y=s, z=−s
• b) x=s, y=1+2s, z=−1−2s
• c) x=1+s, y=s, z=−1−4s
• d) x=1+s, y=1+2s, z=−1−3s

27b – Quali rette passano per (1,1,-1) e sono perpendicolari al piano x+2y-2z+8=0.

• a) x−2 = y−1 = 0
• b) x + 2 = y−1 = 0
• c) 2x-2=y-1=-z-1
• d) 2x-2=y-1=-z-2

28b – Quali delle seguenti rette sono incidenti alla retta 2x-2=y-1=-z-2.

• a) x=s, y=s, z=−s
• b) x=s, y=1+2s, z=−1−2s
• c) x=1+s, y=s, z=−1−4s
• d) x=1+s, y=1+2s, z=−1−3s

29b – Quale è la distanza tra le rette x=t, y=t, z=t e x=1+s, y=1+2s, z=1−2s.

• a) 4^5/2
• b) 5^2/5
• c) 3^5/5
• d) 5^5/5

30b – Quale è la distanza del punto (0,-2,3) dalla retta x = 1+s, y = 1+2s, z = 1−2s.

• a) 1
• b) 3/2
• c) 2
• d) 5/2

Test 3

Ogni domanda può avere 0,1,2,3,4 risposte vere. Una risposta errata ad un quesito a risposte multiple invalida l’intero esercizio.

2.1 – Spazzi vettoriali e applicazioni lineari

31c – Quali dei seguenti sottoinsiemi di R³ sono sottospazi vettoriali:

• a) {(x₁,x₂,x₃) | x₁+x₂=1}
• b) {(x₁,x₂,x₃) | x₁-x₂=-1}
• c) {(x₁,x₂,x₃) | 2x₁-x₂=0}
• d) {(x₁,x₂,x₃) | x₁+x₂=0}

32c – Se {v₁, v₂, …, v_r} è una famiglia di vettori di V linearmente dipendenti, allora:

• a) Almeno un vettore della famiglia si esprime come combinazione lineare degli altri
• b) Ognuno dei vettori della famiglia si esprime come combinazione lineare degli altri
• c) Per ogni vettore w di V, {w, v₁, v₂, …, v_r} è una famiglia di vettori linearmente dipendenti
• d) Anche {v₂, …, v_r} è una famiglia di vettori linearmente dipendenti

33c – Se {v₁, v₂, …, v_r} è una famiglia di vettori di V linearmente indipendenti, allora:

• a) Almeno un vettore della famiglia si esprime come combinazione lineare degli altri
• b) Nessun vettore della famiglia può esprimersi come combinazione lineare degli altri
• c) Per ogni vettore w di V, {w, v₁, v₂, …, v_r} è una famiglia di vettori linearmente indipendenti
• d) Anche {v₂, …, v_r} è una famiglia di vettori linearmente indipendenti

34c – Sia {v₁, v₂, …, v_n, v_n+1} una famiglia di n+1 vettori di Rⁿ, allora:

• a) Costituiscono un famiglia di generatori di Rⁿ
• b) Esistono n vettori della famiglia linearmente indipendenti
• c) Almeno un vettore della famiglia si esprime come combinazione lineare degli altri
• d) Costituiscono una base di Rⁿ

35c – Quali dei seguenti insiemi di polinomi reali in una variabile sono uno spazio vettoriale di dimensione finita:

• a) L’insieme di tutti i polinomi reali in una variabile
• b) L’insieme dei polinomi reali in una variabile di grado minore di 5
• c) L’insieme dei polinomi reali in una variabile di grado pari minore di 5
• d) L’insieme dei polinomi reali in una variabile di grado 5

36c – Quali dei seguenti insiemi di funzioni reali di una variabile reale non sono uno spazio vettoriale:

• a) Le funzioni per le quali f(0)=1
• b) Le funzioni per le quali f(-1)=f(1)
• c) Le funzioni per le quali f(1)=0
• d) Le funzioni per le quali f(0)+f(3)=0

Geometria

Cognome: Nome: Anno di corso: Ing. edile R. Betti / A. Di Libero Matricola:

• Più risposte possono essere corrette. Indicarle con una croce. • Per annullare una risposta ritenuta errata racchiuderla in un cerchio. Limitarsi a una correzione per domanda.

1. Indicare le proprietà vere, in relazione a un’applicazione lineare f : R^m → Rⁿ:

• a) dim Im f = n
• b) dim Ker f = 0
• c) f è iniettiva se e solo se dim Im f = m
• d) f è suriettiva se e solo se dim Ker f = n − dim Im f

2. Nello spazio, le due rette r ed s di equazioni rispettive r : x = y = z, s : x + y = z − 1 =0 risultano:

• a) Incidenti
• b) Sghembe
• c) Parallele
• d) Ortogonali

3. Quante soluzioni ha il seguente sistema lineare:

x + y + z =1
2x + z =1
2y + z = −11

• a) Una sola
• b) ∞
• c) Due
• d) Nessuna

4. In R³ sono assegnati i vettori v₁ = (1, 0, 1), v₂ = (2, 1, 1) e v₃ = (−1, −2, 1). Allora, i vettori v₁, v₂ e v₃:

• a) Formano una base di un sottospazio di dimensione 2
• b) Sono generatori di un sottospazio di dimensione 2
• c) Formano una base di R³
• d) Sono generatori di R³

5. Nello spazio, dati i punti A(1, 1, 0), B(0, −1, 1), C(1, 0, −1), qual è il volume del parallelepipedo di spigoli OA, OB ed OC, essendo O l’origine del riferimento?

• a) 0
• b) 1
• c) 1/3
• d) 2

6. Sia P₄ lo spazio vettoriale dei polinomi di grado ≤ 4 nella indeterminata x, e sia U = {p(x) ∈ P₄ | p(0) + p(1) −2p(2) = 0}. Allora, il sottoinsieme U:

• a) È un sottospazio vettoriale di P₄ e dim U = 3
• b) È un sottospazio vettoriale di P₄, ma non ha dimensione finita
• c) Non è un sottospazio vettoriale di P₄
• d) È un sottospazio vettoriale di P₄ e dim U = 4

7. Calcolare la distanza, in valore assoluto, del punto A(1, −1, 2) dalla retta r di equazioni x + y = z − 1 = 0, e indicare le proprietà vere. Distanza....................

• a) r giace sul piano di equazione x + y − z + 1 = 0
• b) r passa per il punto B(0, 1, 0)
• c) r è perpedicolare all’asse delle z
• d) r è parallela all’asse delle z

8. Date le matrici A = (a_ik) e B = (b_ik), sia C = A · B. Indicare le proprietà vere:

• a) (A B)^T = AB^T
• b) (A + B)^T = A^T + B^T
• c) c_ij = a_ijb_jk
• d) c_ji = a_ikb_kk

9. Determinare l’equazione del piano passante per i punti A(1, 0, 1), B(−1, 1, 0), C(0, 1, 1) e indicare le proprietà vere. Equazione del piano:.......................................

• a) Il piano è parallelo alla retta di equazioni 2x = y − z = 3
• b) Il piano è perpendicolare al piano di equazione x + y + z = 0
• c) Il piano contiene il punto D(1, 1, 1)
• d) Il piano contiene la retta di equazioni x = z − y = 3

10. Per quali valori di h i seguenti vettori di R⁴: u₁ = (1, h, 0, 0), u₂ = (0, 1, 1, 1), u₃ = (1, 0, 1, 0) sono linearmente dipendenti?

• a) Solo per h = 0
• b) Per nessun valore di h
• c) Per ogni valore di h
• d) Solo per h = −1

Geometria

Cognome: Nome: Anno di corso: Ing. edile R. Betti / A. Di Libero Matricola:

• Più risposte possono essere corrette. Indicarle con una croce. • Per annullare una risposta ritenuta errata racchiuderla in un cerchio. Limitarsi a una correzione per domanda.

1. Indicare le proprietà vere, in relazione a un’applicazione lineare f : R^m → Rⁿ:

• a) dim Im f = n
• b) dim Ker f = 0
• c) f è iniettiva se e solo se dim Im f = m
• d) f è suriettiva se e solo se dim Ker f = n − dim Im f

2. Nello spazio, le due rette r ed s di equazioni rispettive r : x = y = z, s : x + y = z − 1 =0 risultano:

• a) Incidenti
• b) Sghembe
• c) Parallele
• d) Ortogonali

3. Quante soluzioni ha il seguente sistema lineare:

x + y + z =1
2x + z =1
2y + z = −11

• a) Una sola
• b) ∞
• c) Due
• d) Nessuna

4. In R³ sono assegnati i vettori v₁ = (1, 0, 1), v₂ = (2, 1, 1) e v₃ = (−1, −2, 1). Allora, i vettori v₁, v₂ e v₃:

• a) Formano una base di un sottospazio di dimensione 2
• b) Sono generatori di un sottospazio di dimensione 2
• c) Formano una base di R³
• d) Sono generatori di R³

5. Nello spazio, dati i punti A(1, 1, 0), B(0, −1, 1), C(1, 0, −1), qual è il volume del parallelepipedo di spigoli OA, OB ed OC, essendo O l’origine del riferimento?

• a) 0
• b) 1
• c) 1/3
• d) 2

6. Sia P₄ lo spazio vettoriale dei polinomi di grado ≤ 4 nella indeterminata x, e sia U = {p(x) ∈ P₄ | p(0) + p(1) −2p(2) = 0}. Allora, il sottoinsieme U:

• a) È un sottospazio vettoriale di P₄ e dim U = 3
• b) È un sottospazio vettoriale di P₄, ma non ha dimensione finita
• c) Non è un sottospazio vettoriale di P₄
• d) È un sottospazio vettoriale di P₄ e dim U = 4

7. Calcolare la distanza, in valore assoluto, del punto A(1, −1, 2) dalla retta r di equazioni x + y = z − 1 = 0, e indicare le proprietà vere. Distanza....................

• a) r giace sul piano di equazione x + y − z + 1 = 0
• b) r passa per il punto B(0, 1, 0)
• c) r è perpedicolare all’asse delle z
• d) r è parallela all’asse delle z

8. Date le matrici A = (a_ik) e B = (b_ik), sia C = A · B. Indicare le proprietà vere:

• a) (A B)^T = AB^T
• b) (A + B)^T = A^T + B^T
• c) c_ij = a_ijb_jk
• d) c_ji = a_ikb_kk

9. Determinare l’equazione del piano passante per i punti A(1, 0, 1), B(−1, 1, 0), C(0, 1, 1) e indicare le proprietà vere. x+y-z=0. Equazione del piano:.......................................

• a) Il piano è parallelo alla retta di equazioni 2x = y − z = 3
• b) Il piano è perpendicolare al piano di equazione x + y + z = 0
• c) Il piano contiene il punto D(1, 1, 1)
• d) Il piano contiene la retta di equazioni x = z − y = 3

10. Per quali valori di h i seguenti vettori di R⁴: u₁ = (1, h, 0, 0), u₂ = (0, 1, 1, 1), u₃ = (1, 0, 1, 0) sono linearmente dipendenti?

• a) Solo per h = 0
• b) Per nessun valore di h
• c) Per ogni valore di h
• d) Solo per h = −1

Geometria

Cognome: Nome: Anno di corso: Ing. edile R. Betti / A. Di Libero Matricola:

• Più risposte possono essere corrette. Indicarle con una croce. • Per annullare una risposta ritenuta errata racchiuderla in un cerchio. Limitarsi a una correzione per domanda.

1. Sia P₄ lo spazio vettoriale dei polinomi di grado ≤ 4 nella indeterminata x, e sia U = {p(x) ∈ P₄ | p(0) + p(1) − 2p(2) = 1}. Allora, il sottoinsieme U:

• a) È un sottospazio vettoriale di P₄, ma non ha dimensione finita
• b) Non è un sottospazio vettoriale di P₄
• c) È un sottospazio vettoriale di P₄ e dim U = 4
• d) È un sottospazio vettoriale di P₄ e dim U = 3

2. Quante soluzioni ha il seguente sistema lineare:

x + y + z =1
2x + z =1
2y + z = 11

• a) Due
• b) ∞
• c) Nessuna
• d) Una sola

3. Calcolare la distanza, in valore assoluto, del punto A(2, −1, 1) dalla retta r di equazioni x + y = z − 1 = 0, e indicare le proprietà vere. Distanza....................

• a) r passa per il punto B(0, 1, 0)
• b) r è perpedicolare all’asse delle z
• c) r è parallela all’asse delle z
• d) r giace sul piano di equazione x + y − z + 1 = 0

4. Determinare l’equazione del piano passante per i punti A(1, 1, 0), B(0, −1, −1), C(1, 0, −1) e indicare le proprietà vere. Equazione del piano:.......................................

• a) Il piano è perpendicolare al piano di equazioni y+z = 0
• b) Il piano contiene il punto D(1, 1, 1)
• c) Il piano contiene la retta di equazioni x = z − y = 3
• d) Il piano è parallelo alla retta di equazioni x = z − y = 3

5. Indicare le proprietà vere, in relazione a un’applicazione lineare f : R^m → Rⁿ:

• a) dim Ker f = 0
• b) f è iniettiva se e solo se dim Im f = m
• c) f è suriettiva se e solo se dim Ker f = n−dim Im f
• d) dim Im f = n

6. Date le matrici A = (a_ik) e B = (b_ik), sia C = A · B. Indicare le proprietà vere:

• a) (A + B)^T = A^T + B^T
• b) c_ij = a_ijb_jk
• c) c_ik = a_kjb_ji
• d) (A B)^T = AB^T

7. In R³ sono assegnati i vettori v₁ = (1, 0, 1), v₂ = (2, 1, 1) e v₃ = (−1, −2, 1). Allora, i vettori v₁, v₂ e v₃:

• a) Sono generatori di un sottospazio di dimensione 2
• b) Formano una base di R³
• c) Sono generatori di R³
• d) Formano una base di un sottospazio di dimensione 2

8. Nello spazio, le due rette r ed s di equazioni rispettive r : x = y = z, s : x + y − 1= z =1 risultano:

• a) Sghembe
• b) Incidenti
• c) Parallele
• d) Perpendicolari

9. Per quali valori di h i seguenti vettori di R⁴: u₁ = (1, h, 0, 0), u₂ = (0, 1, 1, 1), u₃ = (1, 0, 1, 1) sono linearmente dipendenti?