Analisi matematica 2 (Appunti)

Appunti Analisi II

Programma

1. Teoria dell'approssimazione; successioni e serie di funzioni con particolare riguardo a serie di potenze e serie trigonometriche
2. Funzioni di variabile complessa: trasformata di Laplace e sue applicazioni

Successioni numeriche (richiami)

A valori reali: N: 0, 1, 2, ... naturali. Una successione di numeri reali è un'applicazione n ∈ ℕ → a_n ∈ ℝ.

Si denota con (a_n)_n∈ℕ. Per esteso a₀, a₁, a₂, ... Una successione a valori complessi è un'applicazione n ∈ ℕ → a_n ∈ ℂ.

Esempi

• Es1: (1/m)_m≥1 a_n = 1/n. Per esteso 1, 1/2, 1/3, ..., 1/n
• Es2: (2ⁿ)_n∈ℕ a_n = 2ⁿ. Per esteso 1, 2, 2², 2³, ..., 2ⁿ, ...
• Es3: ((-1)ⁿ)_n∈ℕ a_n = (-1)ⁿ. Per esteso 1, -1, 1, -1, ..., ((-1)^m)
• Es4: (√n)_n≥1 a_n = √n. Per esteso 1, √2, √3, ..., √m, ...

Esempi di successioni a valori complessi

• Es5: ((1+i)^m)_m∈ℕ, a_n = (1+i)^m
• Es6: (cosm + i sinm)_m∈ℕ, a_m = cos m + i sin m, e^iθ formule di Eulero

Definizioni

1. (a_n)_n∈ℕ si dice limitato superiormente se ∃ b ∈ ℝ : a_n ≤ b ∀ n∈ℕ
2. Limitato inferiormente se ∃ c ∈ ℝ : c ≤ a_n ∀ n∈ℕ
3. Limitato se è limitato sia inferiormente che superiormente, ossia se ∃ c, b ∈ ℝ : c ≤ a_n ≤ b ∀ n∈ℕ (equivalentemente se ∃ r ∈ ℝ : |a_n| ≤ r ∀ n∈ℕ )

Es1) è limitata (a = 0, b = 1)
Es2) è limitata inferiormente (a = 0, non lim. sup.)
Es3/Es4) sono limitate (∃ lim. inf. e sup.)

N.B a_n è complessa la definizione (3), o a_n NON ha alcun senso infatti da * segue che la_n ≤ max {a₁, |b|}.

Definizione 1

(a_n)_{n ∈ N} converge a l ∈ ℝ se ∀ε > 0, ∃ ν_ε ∈ ℕ: ∀ν > ν_ε |a_n - l| < ε

La distanza di a_n da l è < ε ↔ l - ε < a_n < l + ε. Si scrive lim_n→∞ a_n = l.

Interpretazione grafica: a_n assume tutti i valori che sono compresi tra l + ε ed l - ε. Se (l = 0) la successione si dice infinitesimo.

Esempio 1

(1/μ)_n1 è infinitesima (l = 0) (∀ε > 0 ∃ ν_ε ∈ ℕ: ∀ν > ν_ε 1/μ < ε 1/μ < ε ↔ 1/ν > 1/ε∃[ε = 1/ε]

Definizione 2

(a_n)_{n ∈ N} diverge positivamente se ∀H > 0 ∃γ_H ∈ ℕ: ∀ν > γ_H a_n > H. Si scrive lim_n→∞ a_n = +∞

(a_n)_{n ∈ N} diverge negativamente se ∀H > 0 ∃γ_H ∈ ℕ: ∀ν > γ_H a_n < -H. Si scrive lim_n→∞ a_n = -∞

Esempio 2

(2ⁿ)_{n ∈ N} diverge positivamente (riscrivere 2ⁿ > H).
(-2ⁿ)_{n ∈ N} diverge negativamente.

Ci sono successioni che non ammettono limite. Es 4: (-1)^m_m∈N non ammette limite.

Nesso fra le nozioni di successione limitata e successione convergente

Convergenza ⇒ limitatezza. Infatti da ε segue che |a-L|<ε ∀t≥ε, scelgo b=max {f(t, a_n…a_[ε])}

Lim (a^m)_m∈N ≥ (-1)^m/m, E minoppure -1≤ a_n≤1, ma non è convergente.

Ricordare che se (a_m)_m∈N è infinitesima cioè converge a (->0) e (b_m)_m∈N è successione limitata allora (a_mb_m)_m∈N è ancora infinitesima prodotto. Es. (-3)^m/m_m∈N a_m=1/m b_m=(-1)^m.