Analisi matematica 2 - Appunti

Indice

• 0.1 Calcolo differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
• 0.2 Teoria dell'integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
• 0.2.1 Integrale di Riemann generalizzato . . . . . . . . . . . 31
• 0.2.2 Criteri di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
• 0.3 Somme infinite: serie numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
• 0.4 Successioni e serie di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
• 0.4.1 Successioni di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
• 0.4.2 Serie di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

12 INDICE

Analisi matematica II

0.1 Calcolo differenziale

Definizione (funzione derivabile e di derivata)

Sia Sia Si dice che è derivabile −→ ⊆ ∈ ∩ f : A A x A D(A). f R, R. 0 nel punto se esiste: x 0 − f (x) f (x ) 0 ∈ lim R − x x → x 0 0

NOTA − {x }, ∈ ∈ − {x }) A x D(A) => x D(A 0 0 0 0

In questo caso: si chiama derivata di in e si denota: f (x) − f x 0 lim f x 0 x → x x − x 0 0 df (x) 0 |f (x ), Df (x ), 0 0 x=x0 dx

retta tangente al grafico Se il è f (x) − f x0 − 0 y = f (x ) + f (x )(x x ) lim 0 0 0 x → x x − x 0 0 allora si dice derivabile in modo esteso in ±∞ = f x 0

Anche in questo caso si pone f (x) − f x0 0 f (x ) = lim 0 x → x x − x 0 0

Teorema di Weierstrass (sulle funzioni continue non derivabili)

34 INDICE

Esistono funzioni continue in ogni punto e non derivabili in −→ f : R R ogni punto.

Osservazione sulle regole di derivata

Sia e sia −→ ∈ ∩ f : A x A D(A) R, 0

Supponiamo derivabile in Allora: f x .0 − f (x) f (x ) 0 0 − −→ f (x ) =: ω(x) 0 0 x → x 0 − x x 0 0

f (x) − f (x ) = (f (x )+ω(x))(x−x ) => f (x) = f (x )+f (x )(x−x )+ω(x)(x−x ) 0 0 0 0 0 0 0

viceversa se è derivabile in − − f (x) = a + a (x x ) + ω(x)(x x ) => f 0 1 0 00 x , a = f (x ), a = f (x ) 0 0 0 1 0

Algebra delle derivate

Siano −→ ⊆ ∈ ∩ f, g : A A x A D(A) R, R, 0

Supponiamo e derivabili in Allora: f g x .0

È derivabile nel punto e 0 0 1) f + g x D(f + g)(x ) = f (x ) + g (x ) 0 0 0 0

È derivabile nel punto e 0 0 2) f g x (f g) (x ) = f (x )g(x ) + f (x )g (x ) 0 0 0 0 0 0

( ) è derivabile nel punto e 00 f (x )g(x )−f (x )g (x ) fg fg 06 ∈ 0 0 0 03) g(x) = 0 ∀x A x ( ) (x ) =0 0 2g (x )0

1) Dimostrazione. − − − (f + g)(x) (f + g)(x ) (f )(x) (f )(x ) (g)(x) (g)(x ) 0 00 0 0 → = + f (x )+g (x ) x → x 0 00 − − − x x x x x x 0 0 0

2) − (f g)(x) (f g)(x ) 0 =− x x 0 − − − f (x)g(x) f (x )g(x ) + f (x)g(x) f (x )g(x) + f (x )g(x) f (x )g(x ) 0 0 0 0 0 0 = =− x x 00.

0.1 Calcolo differenziale 5

− − f (x) f (x g(x) g(x ) 0 0 0 0 → = g(x) + f (x ) f (x )g(x ) + f (x )g (x ) 0 x → x 0 0 0 00 − − x x x x 0 0

devo dimostrare solo che è derivabile in 13) x 0 g 1 11 1 −− ( )x ( )(x ) − g(x ) g(x) 10 g(x) g(x ) 0 g g 0 = = =− − − x x x x g(x)g(x ) x x 0 0 0 00

− g(x) g(x ) 1 g (x ) 0 0 − → − x → x 0 2 − x x g(x)g(x ) g (x ) 0 0 0

CONCLUSIONE g(x ) 01 − 0 ( ) (x ) =0 2g g (x )0

Di conseguenza: ‚Œ Œ ‚ Œ‚ 0 01 f (x ) g(x )f 0 0 · − (x ) = f (x ) = + f (x ) 0 0 0 2g g g(x ) g (x )0 00 0 − f (x )g(x ) f (x )g (x ) 0 0 0 0 = 2g (x )0

Derivazione delle funzioni composte

Siano dove e −→ −→ ⊆ ◦ −→ f : A B, g : B A, B g f : A R R R ◦ (g f )(x) = g(f (x))

Sia tale che ∈ ∩ ∈ x A D(A) f (x ) D(B) 0 0

Supponiamo derivabile in e derivabile in . Allora è derivabile f x g f (x ) g ◦ f 0 0 in e 0 0 0 ◦ · x (g f ) (x ) = g (f (x )) f (x ) 0 0 0 0

derivabile in 0 − y g y := f (x ) => g(y) = g(y )+g (y )(y )+ Dimostrazione. 0 0 0 0 0 con − → ω(y)(y y ) ω(y) 00 y → y0

Allora: − g(f (x)) g(f (x ))00 g(f (x))−g(f (x )) = g (f (x ))(f (x)−f (x ))+ω(f (x)−f (x ) => =0 0 0 0 − x x 06 INDICE

− − f (x) f (x ) f (x) f (x )0 00 0 0 → = g (f (x )) + ω(f (x)) g (f (x ))f (x )0 x → x 0 00 − − x x x x 0 0

Derivata delle funzioni inverse

e inoltre intervalli di Sia su −→ J I, J f : I R 1 −1

Supponiamo derivabile in un punto continua in e una 0 6f x , f I f (x ) = 00 0 funzione continua e iniettiva deve essere monotona.

Allora è derivabile in e la derivata di −1 −1 −→ f : J I y = f (x ) Df (y ) =0 0 010 f (x )0

−1 −1 f (y) = x <=> y = f (x), f (y ) = x <=> y = f (x ) Dimostrazione. 0 0 0 0 allora: −1 −1 − − 1 f (y) f (y ) x x0 0 ==> f (x)−f (x )− − y y f (x) f (x ) 00 0 x−x 0

Allora: −1 −1 → → → y y => f (y) f (y ) => x x0 0 01 1 0 6 → se f (x ) = 00 x → x 0 0 f (x)−f (x ) f (x )0 0 x−x 0

Se allora se è monotona crescente allora tende a , se è 0 f (x ) = 0 f +∞ f0 monotona decrescente allora tende a −∞

1−1 −1 Df (y ) = con y = f (x ) e x = f (y )0 0 0 0 00 f (x )0

Applicazione della nozione di derivata

Teorema di Fermat

Sia e sia Supponiamo derivabile in Allo- −→ ∈ f : A x int(A). f x . R 0 0 ra:

Se è un punto estremante relativo per risulta 0x f, f (x ) = 00 0

NOTA: è un punto interno ∈ ∃δ −1) x int(A) <=> > 0 :]x δ, x + δ[⊆ A, x0 0 0 0

0.1 Calcolo differenziale 7

di A è un punto di massimo(minimo) relativo o (locale) per se ∃δ2) x f > 0 :0 ≥ ∈ − f (x ) (≤)f (x)∀x A∩]x δ, x + δ[0 0 0

Un punto estremante relativo è un punto di massimo o di minimo relativo.

In un punto di massimo se il punto è derivabile e s'è interno allora la sua derivata è zero. Sia un punto di massimo relativo (per fissare le idee) x Dimostrazione. 0

Allora ∃δ − ≥ ∈ −> 0 :]x δ, x + δ[⊆ A, f (x ) f (x)∀x A∩]x δ, x + δ[=0 0 0 0 0

(purché sia un punto interno) −]x δ, x + δ[0 0

Di conseguenza: − f (x) f (x )0 ≤ 0x < x < x + δ =>0 0 − x x 0

− f (x) f (x )0 0 ≤ lim = f (x ) 00 − x x+x → x 00

Inoltre − x δ < x < x0 0 − − f (x) f (x ) f (x) f (x )0 0 0 ≥ ≥ => 0 => lim = f (x ) 00 − − x x x x−x → x0 00

Per tanto 0f (x ) = 00

Teorema di Rolle

Sia ∈ f C([a, b], (−∞ < a < b < +∞) R)

Supponiamo:

• Derivabile in 1) f ]a, b[
• F (a) = f (b) 2)

Allora 0∃c ∈]a, b[: f (c) = 0

8 INDICE

∈ ∃ f C([a, b], => max f, min f Dimostrazione. R) [a,b] [a,b] ∃c ∈ => , c [a, b] : f (c ) = max f ; f (c ) = min f1 2 1 2[a,b] [a,b]

≥ ∈ ≤ ∈ (f (c ) f (x)∀x [a, b], f (c ) f (x)∀x [a, b])1 2 0

∈ {a, ∈ => (c , c b})c = a, c = b, f (c ) = f (c ) => f costate => f (c) = 0∀c [a, b]1 2 1 2 1 2

0 ≤ ≤ => f deve essere costante perché sono il minimo e il massimo => f (c ) f (x) f (c )2 1

∈]a, ∈]a,c b[ o c b[=> uno dei due punti deve essere interno1 2 0 0 => per il teorema di Fermat f (c ) = 0 oppure f (c ) = 01 2

Teorema dal valore medio di Lagrange

Sia derivabile in (con derivata finita). Allora: ∈ f (C([a, b], ]a, b[R)), − f (b) f (a) 0∃c ∈]a, b[: = f (c) − b a

Poniamo: f (b)−f (a)−→ − − g : [a, b] g(x) = f (x) (x a) Dimostrazione. R, b−a

Risulta che perché differenza di funzioni continue. ∈ g C([a, b], R)

è derivabile perché è derivabile in quell'intervallo. g ]a, b[ f

− f (b) f (a)0 0 − ∀x ∈]a,g (x) = f (x) b[− b a

− f (b) f (a)− − g(a) = f (a) (a a) = f (a)− b a

− f (b) f (a)− − g(b) = f (b) (b a) = f (a)− b a

Allora per il teorema di Rolle 0∃c ∈]a, b[: g (c) = 0 <=> − − f (b) f (a) f (b) f (a)0 0 − f (c) = 0 => f (c) =− − b a b a

Teorema di Cauchy

0.1 Calcolo differenziale 9

Siano derivabile in Supponiamo 0∈ 6 ∈]a,f, g C([a, b], ]a, b[. g (x) = 0∀x b[R),

Allora: 0− f (b) f (a) f (c)∃c ∈]a, b[: = 0− g(b) g(a) g (c)

NOTA:

• Se 1) g(x) = x => (Cauchy => Lagrange)
• (teorema di Rolle)0 6 ∀x ∈]a, 62) g (x) = 0 b[=> g(b) = g(a)

Poniamo −→ h : [a, b] Dimostrazione. R

− − − h(x) = (f (b) f (a))g(x) (g(b) g(a))f (x)

Risulta: è derivabile in perché combinazione lineare di funzioni ∈1) h C([a, b], ]a, b[R) continue e derivabili.

0 0 0− − − ∈]a,2) h (x) = (f (b) f (a))g (x) (g(b) g(a))f (x)∀x b[

− − − −3) h(a) = (f (b) f (a))g(a) (g(b) g(a))f (a) = f (b)g(a) g(b)f (a) =− − − − h(b) = (f (b) f (a))g(b) (g(b) g(a))f (b) = g(a)f (b) f (a)g(b)

Allora per il teorema di Rolle 0 0∃c ∈]a, −b[: h (c) = 0 <=> (f (b) f (a))g (c) =0 − (g(b) g(a))f (c) => 0 − f (c)f (b) f (a) = 0 − g(b) g(a) g (c)

Criteri di monotonia

Sia intervallo, derivabile in Allora: è monotona −→ f : I I f I. 1) f R, crescente 0 ≥ ∈ <=> f (x) 0∀x I

Premessa: in f (x )−f (x ) ≥ ∀x 6↑ 2 1 0 = xf I <=> Dimostrazione. 1 2 −xx 2 1

=> − f (y) f (x)↑=> ≥ ∈ ∀y 6 ∈f 0∀x I, = x, y I − y x

10 INDICE

Allora: − f (y) f (x)0 0 ≥ ∈ ≥ ∈ f (x) = lim 0∀x I => f (x) 0∀x I − y xy → x

<= − f (x ) f (x )2 10 ≥ 6≥ ∈ ↑ <=> 0∀x = x , x < xf (x) 0∀x I => f 1 2 1 2 − x x2 1

Ora per il teorema del valor medio di Lagrange, esiste ∈]xy , x [1 2 − f (x ) f (x )2 1 0 ≥ = f (y) 0 − x x2 1

Per ipotesi f (x )−f (x ) ≥ ↑2 1 0 => f=> −xx 2 1

Funzioni iperboliche

−→ cosh : R R −xxe + e cosh x = 2 −xx − e e D cosh x = = sinh x2

−→ sinh : R R −xx − e e sinh x = 2 −xxe + e D sinh x = = cosh x2

Arcoseno iperbolico

−1 −→ arcsinh = (sin) : R R1 1√ ∀y ∈D arcsinh y = dove y = sinh x => R2D sinh x 1 + y

Arcoseno

−1 arcsin x = (sin x| )π π]− , [2 2 1√ ∀y ∈] −D arcsin y = 1; 1[2−1 y

0.1 Calcolo differenziale 11

Tangente iperbolica

perché è sempre sinh x −→ ∀x ∈ tanh : tanh x = cosh x > 0R R R cosh x 1 2 − D tanh x = = 1 (tanh x)2 cosh x

Arcotangente iperbolico

−1 su − arctanh = (tanh) :] 1, 1[−→ R1 −1 1 ∀y ∈] −D arctanh y = 1, 1[2−1 y

Criteri di monotonia

intervallo di derivabile in −→2) f : I I f I R, R,

8> 0 ≥ ∈ f (x) 0∀x I <↑f s <=> > 0: {x ∈ I|f (x) = 0} non contiene intervalli

0↑ ≥ ∈ => f s => f (x) 0∀x I(1)

Dimostrazione.

Per assurdo 0 0{x ∈ ⊇]α, ∈ ∀x ∈]α,I|f (x) = 0} β[=> f (x) = 0∃α, β I : β[=> è costante in contro l'ipotesi di stretta monotonia. Per ipotesi: f ]α, β[ <=

8> 0 ≥ ∈ f (x) 0∀x I < ↑=> f s > 0: {x ∈ I|f (x) = 0} non contiene intervalli

Intanto: in 0 ≥ ↑ f 0 I => f (1)

Per assurdo: non strettamente monotona con ∃x ∈f => , x I x < x :1 2 1 2 f (x ) = f (x )1 2

0≤ ≤ ∈]x=> f (x ) f (x) f (x )∀x , x [=> f / e costante1 2 1 2 [x ,x ]1 2

Ma se è costante allora contro l'ipotesi.0 ∈f f (x) = 0∀x [x , x ]1 2

12 INDICE

Teorema di De L'Hopital

Sia intervallo di Sia (in senso esteso) −→ ∈f, g : I I x D(I)R, R. 0

Supponiamo derivabili in , inoltre 0 6 ∈f, g I g (x) = 0∀x I

Supponiamo inoltre:

−→ →i)f (x), g(x) 0 per x x 0

−→ ±∞, −→ ±∞ →ii)f (x) g(x) per x x 0

Allora: se esiste il allora anche il e si ha che: 0f (x) f (x)∃lim , limx→x x→x0g (x) g(x)0 00 f (x) f (x) lim = lim 0g(x) g (x)x→x x→x0 0

∈f, g :]x , β[−→ β > x , β Dimostrazione. RR0 0 per −→ →f (x), g(x) 0 x x 00 f (x)f (x) −→ −→∈ =>λ λRx→x x→x0 00g (x) g (x)

Poniamo: f , g : [x , β[−→ R0

8> 0 se x = x< 0f(x) = >: f (x) se x > x0

8> 0 se x = x< 0g(x) = >: g(x) se x > x0

Allora ∈f , g C([x , β[, R)0

( )f (0) = lim f (x) = f (x)x→x 0 0

Allora: (teorema di Cauchy)f (x)−f (x ) f (y)∀x ∈]x ∈]x 0, β[∃y , x[: =0 0 0g(x)−g(x ) g (y)0

Allora: 0f (x) f (y )x −→= λ→xx→x =>y x0 00g(x) g (y )x

0.1 Calcolo differenziale 13

Primitive o anti-derivata

Sia data intervallo di Una funzione si di- −→ −→f : I I F : I R, R. R ce che è una primitiva di se: f

• È derivabile in i)F I.
• 0 ∈ii) F (x) = f (x)∀x I

NOTA:

Se e sono primitive della stessa funzione,allora: costante. −F G F G =

Infatti: è 0 0 0− − − ∈ −F (x) G (x) = f (x) f (x) = 0 => (F G) (x) = 0∀x I => F G costante => F = G + c

Teorema di Darboux

Sia intervallo di −→f : I I R, R

Supponiamo derivabile in ogni punto di . Allora: è un intervallo (Se 0f I f (I) si richiedesse che fosse continua allora sarebbe il teorema di Bolzano applicato alle derivate)

Siano con Sia poi 0∈α, β f (I) α < β. γ : α < γ < β.

Dimostrazione.

Dimostriamo che esiste 0∈c I : f (c) = γ

Siano ora Per fissare le idee supponiamo 0 0∈a, b I : f (a) = α, f (b) = β. a < b.

Intanto Definiamo ⊆ −→ −[a, b] I. g : [a, b] : g(x) = f (x) γxR

Intanto è derivabile in e 0 0 −g [a, b] g (x) = f (x) γ

Allora: 0 0 − −g (a) = f (a) γ = α γ < 00 0 − −g (b) = f (b) γ = β γ > 0

Per il teorema di Weierstrass ∃c ∈ [a, b] : g(c) = min g[a,b]

assurdo perché Se fosse allora g(x)−g(a) 00 ≥ 0 => g (a) <c = a g (a) = lim +x→a x−a

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