Analisi matematica 2

Revisionato il 25/07/2026

di valeroio99

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Programma affrontato:-Integrali doppi e tripli-Formule di riduzione-Cambiamento di variabili-Calcolo di volumi, volumi di rotazione e superfici-Integrali curvilinei (I e II specie)-Teorema di …

Esame Analisi matematica 2

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Perfetti Paolo

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

A.A. 2021-2022

67 pagine

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Analisi II - Lezione 1: integrali doppi

Integrali doppi

∫∫_D f(x,y) dx dy ↖ il dominio è un sottoinsieme di R², quindi σ troviamo nel piano xy

f̃(x,y) = { f(x,y) se (x,y) ∈ D 0 se (x,y) ∉ R → RI

DR - Rettangolo → R = [a,b] × [c,d]

↙ Modo σ partizione:

|R_ij| = (x_i - x_i-1)(y_j - y_j-1) ↑ Area

mij = inf_{R_ij} f(x,y); Mij = sup_{R_ij} g(x,y)

s(p, P) = ∑ ∑ mij|R_ij| → Somma inferiore

S(p, P) = ∑ ∑ Mij|R_ij| → Somma superiore

Se s(f,p) = S(f,p) la funzione è integrabile

Analisi II - Lezione 1: integrali doppi

Integrali doppi

∫∫_D f(x,y) dx dy

Il dominio è una sottoinsieme di R², quindi lo troviamo nel piano xy

ƒ(x,y) = { f(x,y) se (x,y) ∈ D 0 se (x,y) ∊ R \ D

R = Rettangolo → R = [a,b] x [c,d]

Vedo la partizione:

1 |R_ij| = (x_i - x_i-1)(y_j - y_j-1) ↑ Area

m_ij = inf_{R_ij} f(x,y) ; M_ij = sup_{R_ij} g(x,y)

e definisco P la partizione di R:

T(ƒ,P) = Σ_i=1^m Σ_j=1ⁿ m_ij|R_ij| ↑ Somma inferiore

S(ƒ,P) = Σ_i=1^m Σ_j=1ⁿ M_ij|R_ij| ↑ Somma superiore

Se T(ƒ,P) = S(ƒ,P) la funzione è integrabile

Teorema 2

f : D ⊂ ℝ² → ℝ

Se:

D è limitato e misurabile e f è limitata quasi ovunque in D allora f è integrabile

D è misurabile se χ_D(x,y) = 1 se (x,y) ∈ D 0 se (x,y) ∉ D

è integrabile ovvero se e solo se la misura del bordo è uguale a zero:

|∂D| = 0 ↖ area del bordo

Teorema 3

Linearità: 2, β ∈ ℝ ∫∫_D(2 + βg) dx dy = 2 ∫∫_D f dx dy + β ∫∫_D g dx dy
Monotonia: f ≤ g in D ⟹ ∫∫_D f dx dy ≤ ∫∫_D g dx dy
Additività (rispetto del Dominio) (D₁, D₂) ∫∫_D₁∪D₂ f dx dy = ∫∫_D₂ f dx dy + ∫∫_D₁ f dx dy |D₁∩D₂| = 0

Diagram:

D₁, D₂ disjoint

|D₁∩D₂| > 0

∫∫_D₁∪D₂ f dx dy = ∫∫_D₁\D₂ f dx dy + ∫∫_D₂ f dx dy + ∫∫_D₂\D₁ f dx dy + ∫∫_D₁∩D₂ f dx dy

Formule di riduzione

Dominio semplice rispetto a y

D = { (x,y) ∈ ℝ²: x ∈ [a,b], y ∈ [l₁, l₂] }

∫∫_D f(x,y) dx dy = ∫_x=a^x=b [ ∫_l₁^l₂ f(x,y) dy ] dx

Dominio semplice rispetto a x

D = { (x,y) ∈ ℝ² : y ∈ [c, d], x ∈ [ψ₁, ψ₂] }

∫∫_D f(x,y) dx dy = ∫_c^d[ ∫_ψ₁(y)^ψ₂(y) f(x,y) dx ] dy

Esempio 1

∫∫_D x dx dy

D è il triangolo (0,0), (0,1), (1,1)

∫∫_D x dx dy = ∫₀¹ [ ∫₀^x x dy ] dx = ∫₀¹ x × x²/2 dx = x⁴/8 |₀¹ = 1/8

Esempio 2

∫∫_D e^y³ dx dy

∫₀¹ [ ∫_y³¹ e^y³ dx ] dy = 1/3 [ ∫₀¹ y² e^y³ dy ] = 1/3 e^y³ |₀¹ = e/3 - 1/3

∫₀¹ [ ∫_√x¹ e^y³ dy ] dx = Imp! → nn conosco ∫ e^y³ dy

Lezione 2

Esempio 3

Calcolare il volume dell'insieme delimitato da:

y = 0, z = 0, z = 1 - x + y

Piani in R³

y = 1 - x²

(a,b,c) ∈ R è un vettore ortogonale al piano mentre d mi dice da quale piano stiamo edito che esiste un infinito fe. . . escio di piani aventi lo stesso vettore normale

Piano:

z = 1 - x + y

Interseca piano zx (y=0) quando:

z = 1 - x → punto z = 0, x = 1 → P₁

z = 1 - x → punto z = 2, x = -1 → P₂

Studiando il piano xy:

y = 1 - x²

Tutti i punti che soddisfano questa equazione

presentano tutti i punti ∈ ℝ, dato che questa equazione non dipende da z e possiamo vederlo nel piano ℝ³ queste figure come quelle nel piano ℝ² sul dell'asse che enviul nel ufficio-

Calcolo del Volume = ∫∫(,) ⬆ volume individuato del dominio sotto

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