Analisi matematica 2

Successioni di funzioni

• Successioni di funzioni
• Funzioni di due o più variabili
• Equazioni differenziali
• Integrali curvilinei e forme differenziali nel piano e nello spazio
• Integrali doppi e tripli
• Superfici regolari

Successioni di funzioni reali di variabile reale

Consideriamo un insieme di R A ⊂ I ⊂ R → V: N -> R che sono una successione -> consideriamo la corrispondenza di funzioni f_n : N ∈ N -> f_n (associa la funzione f_n).

Si indica con: successione di funzioni definita in X (f(x)).

f_n → f(x) converge ad un punto di I:

Def. se x ∈ I, è successione di funzioni f_n converge in x? La successione numerica f_n(x) converge.

C = { x ∈ I : f_n converge in x } = insieme di convergenza di f_n, insieme dei punti in cui la successione di funzioni converge.

C = ∅ vuoto = non converge in nessun punto di I => insieme vuoto ∅.

Si può definire una funzione limite, funzione limite f = il limite puntuale della successione.

f(x) = lim f_n(x).

(P) convergenza puntuale.

f_n converge ad f.

∀ x ∈ I, lim f_n(x) = f(x), convergenza puntuale.

Esempio 1

f_n(x) = xⁿ, x ∈ R.

∀ x fissato, si ha lim xⁿ = 1 se x = 1, 0 se |x| < 1 e x > 1? x < 1? +∞ x > 1, < 1 x < -1.

C = R - { -1, 1 } insieme di convergenza.

f(x) = { 0 se |x| < 1, 1 se x = 1, funzione limite della successione xⁿ.

|x| > 1 → xⁿ non finito lim xⁿ in I a -> xⁿ.

Esempio 2

f_n(x) = n x² / (1 + n|x|).

x = 0.

f_n(0) = 0 ∀ n ∈ N → lim f_n(0)=0 → la successione converge in 0.

x ≠ 0.

lim n x² / (1 + n|x|) = x² / |x| = |x| → la successione converge a |x|.

R ∈ C, insieme di convergenza puntuale.

La successione di funzioni è convergente in tutto R.

f(x) = { 0 se x = 0, |x| se x ≠ 0 <=> f(x) = |x| → f_n → |x| in R.

Successioni di funzioni reali di variabile reale

Consideriamo un insieme di R -> I c R VENGE f_n : I -> R che siano una successione -> consideriamo la corrispondenza di funzioni f_n : N -> I -> f_n.

Si indica con: <--- successione di funzioni definita in I.

{ f_n(x) } { f_n(x) } f_n f_n(x).

Def. se x E I, la successione di funzioni in converge in x se la successione numerica {f_n(x)} converge.

C = { x E I: f_n converge in x } = insieme di convergenza di f_n, di convergenza di f_n.

Vuoto = non converge in nessun punto di I = insieme vuoto.

Si può definire una funzione limite { x E C -> lim_n f_n(x) }.

Funzione limite = il limite puntuale data successione.

(P) -> convergenza puntuale.

{ f_n -> f in C { f_n convergono ad f } x x E I lim f_n(x) = f(x), convergenza puntuale.

Esempio 1

f_n(x) = xⁿ, x E R.

V x fissato, si ha lim xⁿ = { 1 se x = 1, 0 se |x| < 1 > -1 if |x|<1, +oo x>1 { -oo x<-1 }.

C = D = ]-1,1[ insieme di convergenza.

f(x) = { 0 se |x| < 1, 1 x=1 -> funzione limite della successione xⁿ.

Se x E C è finito lim xⁿ => { xⁿ → f(x) = { 0 x<1 { 1 x=1 in ]-1,1[.

Esempio 2

f_n(x) = x² / (1+ n|x|).

x=0.

f_n(0) = 0 Vn E N -> lim_n f_n(0)=0 -> la successione converge in 0.

x != 0.

lim n x² / (1+n|x|) = |x| / n.

La successione converge a |x|.

R = C, insieme di convergenza puntuale.

f(x) = { 0 se x=0, |x| se x!=0 => {f(x)=|x|} -> f_n → |x| in R.

6.1

f_n(x)=xⁿ   ] ] I < E.

f_n(x)= { 1 if x=1, 0 if x ] [1,e] }.

Funzioni potenze continue in [1,e], quindi in E.

Ma la funzione cosa? Non è continua? In x = 1.

Proprietà come monotonia e derivabilità non si trasmettono puntualmente alla funzione limite, ma la funzione limite non è derivabile in x=0.

6.2

f_n(x)= x²/(1+n|x|)   R = E.

f(x)=|x|.

Etichetta non è lo stesso che da funzioni limite.

V n C N : f_n(x) = limite derivabile in 0.

In 0; n x → n(x).

f_n(x)= (n x + 2 n(x))/(1+n|x|).

n x/(1+n|x|) → 0 → f'.