Analisi matematica 2

09/03/2020 Topologia

PI Pollo ?in )indico Ho EIRYo Io )• punto Yocome oppureun, ,,↳ " Pollo ) ( )IR Xeanalogamente punti tonindicaidi XonXori oppuresono con e ., .. ,. .., ,-Vcxo )(la PI )17Pollo Nodistanza ' ? )( )tra Papa dove dinè Yn• XiYuinpunti tiyoi= xndue e: -- ,,↳ -V"in 113 la t.o.tt'Patdistanza definisce dissipa Ho Ydsi : = -, din-lpqpel-VI.nl/s-Y-t↳ ?formain si può scriverecomposta { " }( (E) EIRDr 11) e)dirintervalloDiscorrer aperto <e• ; v >r: o= ,,"DÌchiuso {( }EIR)intervallo dritta e) Ere >Dislochi ) v= o;• : ,,

Proprietà della distanza

Proprietà della distanza -IX-X.ie )din X(• Xo-" + ( )lolSIR1.11) IR leiIo o ±: =e o=- R"_IIII2) Ille K¥1=- e, VAIlettletti IIIE3) lei txn; te . ..in ha siin chiusesferesi tratta→ apertesidisco2 n =3a- oun ,→ osservazione per . lei XD. e ,I)Dritto dAX2 aarte "i:.

Definizione di insieme aperto

DE#iZONEdNSEMEAPERTO" 7Un è tuttoAEIRinsieme )leDrk disco aperto contenutoaperto EAdetto in Aeo unse-, i .- ? lei ,/ ii \ ,- .IEFinnoneodACCUMULAZNE.IO" intornoè AEIRdi inaccumulazione tediogni EAcade punto eunpunto #quando e ± Ioper" ha "in IRcheIR infiniti diquindi punticadonoogni intornosiper⇐ :.

Definizione di insieme chiuso e di frontiera

Definizione di insieme chiuso • CHIUSOeternetutti puntii di accumulazionesuoieoDEFINIZIONEdif-RONTERASonoipuntieoc.IR" diintorno delcontiene dipuntilotali che A complementareogni e- --punti ,)Dr ( ciin cheIo dipunti AsonoOss ÌÌÈe: i ,stanno innon A i ,'- -.1) di chiusoesempio b-insieme ! min -2-2) esempio insiemedi O_0aperto nei0 1 ma3) di cheesempio insieme noi%g-unnè divoè néapertonon ma

Definizione di limite

DEFINIZIONE di• LIMITE Y a- lt E - i---- .ftp.fcxi-l accumulazionenel finito dine e• io puntocaso e .., oclx-xolc.de1074 Hai lfcxs.lksignifica ÌLV' Eche E> ladro È tde ×Xolfciilcmlimitata 7IRche Mf UEIR è ttxeudico chetale→ Det → in ou se >: :.→ è ftp.gcxt-odico infinitesimacheDEI : →+per sexogDX teoremaItp Sia f limitata ina) diinterno punto eun un2) infinitesimaftp.gcxi-olgsia )- . f-allora limE og--⇐ Il181=1=]figo sin 1±fuse ¥ fcxs insin uco)esempio → ma+2gcx ) = III f- èquindi figo ninfeog.

Funzioni di più variabili e limite

funzioni piùDEFINIZIONE variabiliLIMITEdi per a"fSia figoAEIR sia cheR fcxiel finitoAicadi accumulazione→ A.puntoe ⇐ per :: se7VE ldel de70 ll ElfcxI dirti# <o re c±a )> o -,→ nelcason-a-h.sn significafinitofc che=L :",(( → × »)x. y .fcxie .)E-a# VK.xoh-iocdeaebralfcxs.LI1LE7 EHoTE <)» 04Yo so se. ,'E -< - , • yi )1×0,40Da X (teorema )che siteoremi estendere da nzza1possono A-teorema• "Ha siamo RAEIR sia1) f accumulazione→ dipuntoe a:g. , che limiti2) finitiSupponiamo esistano seguentiifigo fcxk Le lafifa gemeeftp.lft.gl LaTs ha Laa) ±si cheAllora =:. b) figo Li Laf. g = .feti ¥c) § la #se o=similiDi alsono nei: caso

Definizione di continuità

Definizione di continuità di-TNTAS.io• " funzioneINAEIRfIo di accumulazione miaAC- un epunto : una- .Dico fcxsfingo feedf continuoche è in eo se =↳ COCA(dico èè ) spazio continuef continuatache funzionicontinuo in CCAEA di)A →se ,chiE ZUn Mioè EM→ chetaleinsieme ttLIMITATO Ese lei a c-tteoREEERSTRASSHp.DS.io "E insieme chiuso in IRlimitatoun e"EEIR -7M continua E2) Sia f su:I f massimoAllora minimo assoluti eassume e se. 7 fcche flatQuesto fasignifica→ V'cheE quindi) Etali E E)#e C-# c- :±,,fcafcxi Eamene ) e c-me• = ,fcxiefcM• i e= [ ⇐# ex⇐ ,

Calcolo dei limiti per n variabili

CALCOLO dei• PERLIMITI NZZ strategie→ esistononel nelnzz =Lcaso semplici casonon ?come y funzione[ ↳↳ tra ← µavvicinareci direzionisi solo inXopuòse rettaanse > %due µµXO "• infiniteci Hanoisi traiettorieavvicinarepuònon parabolaseguendose a →quindi traiettorieavvicinandoci diverseCXO si)40 •iseguendoa ×Xo, esempiodiversilimiti adtrovarepossono lim limfumi ¥ fumiXo xo× → parabolaYoretta yyo →y →→ ipè delil limitemoltometodo calcoloutileun per{ !fan? oeea ..fritta ¥tgo; =Supponiamo fcxiebin in coordinate hapolaricalcolaredi si) passandoLXO )Yo4)IX. → , èquindi limitesinocoso ilYoY quindi→X 0-70× Yo -70 xoXo =p gper=py -- - -,, ) 610finofltotfcosoilotfsino )I¥7 =L8 - µin" -, ,µIllimitcnmseùvabedilnondipendedin 0=04formaggio )incoordinate )si pianonelpolariassegnazione : curvaassegna oppureunalimite ftxotfcosoieotgsinofigoilIIiffjfomffffj.am doniamo) =Lyo -1 -× i-ffgfcosjsino-efi.gg?cos3Osino=oIII②Esempio→ =»,« 0=04ora quindi hasi il) esistericordarmi che perchéche limiteperò devo?figo aItro cioèil=L èlimite rispetto «uniformeg → 0 oat traiettoria )0=04I alimitatainfinitesima②Esempio→ fcosopsino-i-fi.IO/cos0cprin0cp 7)III. fifo il dipendelimite→ dallanon=⇐ ,o quindiµ traiettoria 0=09)esistenon( fatto③Esempio )intuitivo→ controDimostrare limitebin lungolimite ilil esiste volache E- o ognimanon« Mhcao' origineche l'retta perponeche è far ilchelimite sufficientedimostrare il limiteesiste è• diversoper vederenonavviciniamo traiettorieci diverselungo10,0 ) duearea) lungo mettile y MXrette = ,t.fi II.→ ritienese %o⇐ "è»».simile E-→ ose y →o= }merito→ generalecaso 'binèlim +3Mbin)cmx in×= == -- -- "Hill Xlt-70 ?( [ ]+4→ ) mxiz ×( X ma è ma0,0 X-710,0 t( )× y )+ ,Y mx--lim km trattalimiteil lo→ origineè l'm_x. che0 passa= = perHtm '-70× µ E limitatainfinitesimab) haprendiamo x2 chesiparabolalase :y --limxbin ilI limite esiste# o → non= =-7C( )0,0)( +4() +42 44→Xii ) (0,0 + 7=+24=+2

Derivate parziali

Derivate parziali • ''Sia IR fA IRAEIRsia funzione→ unadiaperto :eun .Supponiamo finitiche limitiseguentiiesistano :fcxothyygf-fcxo-dxfcko.tohim ) )h (-70 EAYoXo,fcxohim FCXOfcxo.to )) DyYotk ) yo=-, ,K so- Dxf ))( nelAllora Hofderivata rispettoYo parzialeè didetta YoXo: ×e puntoa ,, .diè )) f rispettoparziale (Dyf nel YoHo derivatadetta XoYo punto• ya, ,diverseinparziali notazioniderivateleosservazione per: sono uso¥ txfDxflxoiioi fxf, , ,analogamentee per yAEN fyè fxf derivatecontinuaDefinizione A checontinue: in diciamose : con ,,f c'di classeè )CA→ esempio ' ?fcx -3Mt 5X y4) =,Dxflt 02 37X) ty = -,Dyf )LXM 3 Hoyo X= -À f fderivabile in incontinuanoi XoXoper ¥ ff derivabileè FALSO continua2nper := 10/03/2020→ haNel teoremailsicaso seguentemese :fTL Se f èinderivabile allora continuo inè Xoxo. ,lfcxi-fcx.sk/fcxiif.III-/lx-xolInfattiDim . ftp./fkIfII-/=f'cxoi lfcxi-fcx.itPoiché XdIxha che →' 0finito7 f ha esiipotesi siallora)uomo per Axa -:perCioè ftp.fcxi-fcxoi ècioè incontinuo xo .Nel validoteorema èA-2 questo noncaso '

Sfere, piani e rette

Sfere loft !è quindidella sfera ilèsfera ' ilth èlz YoHodove• raggioZoi )vIX.spazio zo centronello Xoi rdarappresentata see: una -- , , Z( xltha 47 =PE( Yo Yo Zok si nell'sfera Roriginela) centro raggioe0,0 cono, ., ,Se VKè f- 42 si hannoEh' xztyscriviamo ?±Z SFERESEMI→ due POLARIcalotte× O= con-Ie ?è ?ZIO Ety v,Piani × Y• i piani axtbytczinspazio rappresentati equazioni linearinello toto: da xihz :sono Zpianoil l' origineD=se ,µ§#o• passa per daTziehasi• il piano× o= ilha zsiy• piano- o- yhaE- pianoil° si ilo -Rette• le intersezionispazio si pianiscrivere: trapossononellorette comeÈ:{es : one × .-TI costruisco Dyflqodimostra fimplica continuitàDxflqoderivate lache delle )cheesempio l' esistenza parziali di)un none(nel ) ut Ho×punto { seoo f è in1) continuo caos, nonSiEsempio funzione dimostrareflx checonsideri la 4)→ derivabile ine 0,01èe- a)o gyx.se, =3ZA tzÈ2- =3 e- treose n: iii. . .fumi è com' tinta dueda ratesemisferaeraYe dae una * ×1) %ff.ae

Continuità e derivabilità

CONTINUITÀ fcxihefcontinuo deve: essere )per essere ' 90,fcxi-fizaa.fr/iT--fIEeffige quindicennefcqoiha chefcodefinizione si=3 i # =3a) eper• =, »,2) DENVABILITÀ Dxfco figo floth.gf-f-f.fm 3-ndi-f.iq f- ook: =,Dyf ftp.flqotkt?=fffg3-#--ffIoz--Lemanonècontinualquindi f è90K' →o

Derivate successive

Derivate successive 2Sia Supponiamof AEIR IR tuttiche Ai punti dif→ A derivabile insiaaperto: ., . 'funzioni fylxfxlxihconsiderare AEIR IR fxefyderivatedefinireAllora parzialile possiamofy le difxpossiamo →)due e y e:, .,Dxfx Dxfy lederivaùesecondediunafnnzioneindnevarialilioonoDyfyDyfxOtteniamo quindi a-: , ,,queste si inscrivere compito ;)modo §possono : µ; ¥ ) -1( )FIgx , = ,-

Matrice hessiana

Matrice hessiana Se D'fcxie è inf derivabileesistonole parziali diremoin che) volte )derivate Yocxo() Yo dueXo4 ., ,Se ttlxoD' derivabilefdiremo èflxie che) esistono YOIEA volte in A.due, 43 fy 'consideriamo 'fcxie fx)funzione leOsservazione la calcoliamo: 3×4derivate iseconde =xy : =, e= ) DiDxfxi o=Dyfx Dyfy 6×7=312inOsserviamo Dxfyche Dyfxhasiquesto caso = = .Questo applicazionifatto nelle èmolto in Nonavviene generale sempre veroma .Infatti Dxfylqoslaborioso che Dyfxin cuicostruirepuò sisi 10,9' dimostraesempio semplice #unun ma poEsempio {X3fcx è6,07 funzionelxih #): voltequestase duey =, A siderivabile ha- e : §%cnn.io , I?se o• , quindi dyfxco.at#Dxfiao'→ )(di

Teorema di Schwarz

Teorema di Schwarz derivateteorema ugualicheche minegarantisce duele sonoftp.9efxie ) fyx continue in(fy 40,401fxyesistono delin Yointerno Xopunto e se sonoe eun× ,, ,fyxlxo.to ))fxy 40,10TI Allora = ..In C'f cioè fyxhaparticolare fCA derivate uguali) derivatele che continue miste fxyse allorac- leseconde sonose sono ,→ caso funzioni piùindi variabilidi due" IREIRf. A →Per prima dobbiamole derivate rapportidei incrementalilimitiiconsiderare :flnthi.az/...,Xn)-#...Xn)DIGLI figo) = ha;I ftp..ci/JthJ,...Xnl-flXn,...,XnI-D (f)Xjf figIio h5=1,2= . ..HJ dxf fafDxsflee notazioniuseremo , ,, .,Le derivate matriceseconde sono nxnuna .fxAd fy fzfcxie derivatesi hanno primeesempio =3 )znper o: ,,, , II. Ifosti :)• derivaronofxz fyz fzz

Definizione di differenziabilità

Definizione TÀDIFFERENZIABILIdi→DEfInne②Sia AEIPI aperto lxo.ro ) EAsiae .' ( 71) f cioè fylxoieoUna fxcxofunzione AEIRf IR derivabiledifferenziabile Ydlxoè Yo) )si indice→ e:: se , ,relazione %ffgflxoth-K-f-ffkeovhzt.kz2) vale la2)simbolo si" può