Analisi matematica 2

Equazioni differenziali

Equazione differenziale

Si dice equazione differenziale di ordine n un’equazione del tipo Flt Oy y yyy(t) F, dove y è la funzione incognita e F è una funzione assegnata a valori reali. L’ordine dell’equazione è l’ordine massimo di derivazione che vi compare.

Soluzione

Si dirà soluzione nell’intervallo una funzione, definita almeno in esso, per cui risulti 9h1 Flt Ol'Itt HI tt4h I. Infine si dirà integrale generale la famiglia di tutte le soluzioni dell’equazione. Nei casi più semplici questa è assegnata da una formula esplicita, contenente uno o più parametri arbitrari, al variare dei quali si ottengono tutte le soluzioni.

Equazioni del primo ordine

Consideriamo ora equazioni del tipo: y'IH fitFit ultiOy y c. L’insieme delle soluzioni è costituito da una famiglia di funzioni, dipendente da un parametro che prende il nome di soluzione particolare. La condizione iniziale permette in generale di selezionare una soluzione particolare.

Un sistema composto da un'equazione differenziale e una condizione iniziale prende il nome di problema di Cauchy; ammette un’unica soluzione che:

• È definita su un intervallo contenente il punto I
• È derivabile in tutto e soddisfa l’equazione in tutto.

L’idea di soluzione di un problema di Cauchy corrisponde infatti a quella di una evoluzione di un sistema, soggetto a una certa legge differenziale e a una certa condizione iniziale.

Equazione a variabili separabili

Le equazioni a variabili separabili sono del tipo: alti buiy• bMI O bttl.cibut. Se il numero è una soluzione dell’equazione T O allora la funzione costante è una soluzione dell’equazione differenziale; il secondo membro si annulla perché, mentre il primo si annulla perché la derivata di una funzione costante è zero.

Equazioni lineari del primo ordine

Completa: V'Itt alti fFit4ITL forzante. Omogenea: È HI FINalti 0zit 0. Teorema: l’integrale generale dell’equazione completa si ottiene aggiungendo all’integrale generale dell’omogenea una soluzione particolare della completa.

• Soluzione dell’equazione omogenea: È HI ZHIalti Odisia Alti INalti A alticioèprimitivaAlti Altizitti 0alti zittee AltiZHIO azia e Ce fattidifatti ZHIAlti Cdi e.
• Soluzione particolare dell’equazione completa (variazione della costante): V'Itt alti Fit4ITL AltiCHIsoluzione CHIEdella 7h1forma costantenonA c'Itt fitsostituendo alti citalticite eAlti AltiFit1hfit1h ece cAlti AHfitte IHdicit difae attit difayeti ce e.
• Soluzione del problema di Cauchy: La costante sarà determinata dalla condizione iniziale Yo4h01. Scegliendo la primitiva tale che, cioè AHI AltiAlto 0tofaisidsyltl.yoe.atA fisica's La soluzione unica del problema di Cauchy sarà dse.

Equazioni lineari del secondo ordine

Consideriamo ora equazioni del tipo: fitLyeFAIalti bittyty yLL’operatore è un operatore lineare tra spazi di funzioni: didiYi 1242lyitdzlyzyltd.togenerale. L’integrale di una qualsiasi equazione lineare del secondo ordine dipende da due parametri arbitrari.

Le condizioni iniziali permettono di selezionare una soluzione particolare. Il sistema formato da equazione differenziale e condizioni iniziali prende il nome di problema di Cauchy; ogni problema di Cauchy ha una e una sola soluzione.

Struttura dell’integrale generale

Teorema di struttura L z = 0.

• L’insieme delle soluzioni dell’equazione omogenea in un dato intervallo è uno spazio vettoriale.
• L’integrale generale dell’equazione completa si ottiene sommando l’integrale generale dell’equazione omogenea è una soluzione particolare dell’equazione completa.

Dimostrazione:

• a. Siano soluzioni Zz2 indell'equazionee omogenea Lz 0 0 zaovvero e costantisiano dadi IRee e tizi di IzzLZ dalineare tazzaoperatore 0tiziO tazzaZi ZZma per Hypo risolve l'eqtiziD anche tazza omogeneal'insieme è soldelle vettorialequindi spaziouno.
• b. Siano soluzione YpYp dell'egoparticolare completasoluzione dell'aq 0zo zogenerica omogenea L l ff.IOlineare lyptlzotypeZoi operatore è Xp soluzione120 dell'eqovvero completasia soluzione Ya fdell lYongenerica completaeq 0fl flineare Xp lya LY.rs14goperatore è Ya soluzione Yp dell'eqovvero Omogenea Ya YaD Xp Yp ZoZo.

Teorema

Lo spazio vettoriale delle soluzioni di un’equazione differenziale lineare omogenea del 2 ordine ha dimensione 2. Questo significa che esistono due soluzioni dell’eq omogenea tali che:

• Queste funzioni sono linearmente indipendenti, ossia non sono una multipla dell’altra (z1/z2 non costante).
• Ogni altra soluzione dell’eq omogenea è combinazione lineare di z1 e z2, ovvero l’integrale generale dell’eq omogenea è Zitti EIRZeitCi ci.czca.

Dimostrazione

z1(t) z2(t)

• a. Le funzioni sono linearmente indipendenti. Insi2 t.toannullaZitti in nulloIcostante dovrebbe essere fossese ZittoZatti nullasarebbe falso Oovvero z1 z2.
• b. Ogni altra soluzione è combinazione lineare disia OZo soluzione Zouna qualunque liteItZittiZotti Ci cazz toZolfo alto2Cicit cazzciscegliendo l'Ita ZittoItoCz Zo cazzcitsoluzione è ProbZitti cazzottici del CauchyOY è unicità unica soluzioneZolfo4h01 perviltà zitto.

Determinante Wronskiano

Siano due funzioni soluzioni dell’equazione lineare omogenea. Allora esse sono linearmente indipendenti se e solo se la seguente matrice IIIzittimatrice Wronkiana t.detta ha determinante diverso da zero per ogni A&facute;nch&ecute; questo accada è sufficiente che il determinante sia diverso da zero in un punto.

Riepilogo

Il problema della determinazione dell’integrale generale di un’equazione differenziale lineare completa del secondo ordine si riduce ai due passi seguenti:

• Determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea associata, ovvero determinare 2 soluzioni dell’equazione omogenea che siano linearmente indipendenti Zitti zza.
• Determinare una soluzione particolare dell’equazione completa. L’integrale generale dell’equazione completa sarà YIN zitti 4pctterzettiCi.

Infine, per risolvere un problema di Cauchy, una volta determinato l’integrale generale basterà imporre le 2 condizioni iniziali, ricavare di conseguenza il valore delle costanti e scrivere la soluzione corrispondente.

Equazioni omogenee

Consideriamo l’equazione omogenea ab costanti bz OZ t ta2ate cerchiamo soluzioni di tipo esponenziale e e't. Sostituendo nell’equazione abbiamo bzitta d Oade. Affinché l’esponenziale sia soluzione, la costante deve essere una radice dell’equazione caratteristica.

Distinguiamo 3 casi a seconda del valore di discriminante dell’equazione caratteristica:

• D - radici distinte: A didistinte 12 due reali0 caratieq dit soluzioni Zi datate YIN Ci Crcdistinte eartZz lin indie di 42De.
• De 0 - radici complesse coniugate: eq eatdi ti tiZittiO pt script13 cosda èIN BtZzIpa pt sene cos e'tzizza ptcosrealisolavereper eatZzz senteeatZHI Ci t capt ptsencos.
• D radice di O - una doppia: eq ttZitti e teZeitsolsecondoottenereper tmoltiplico per Catd It e2 ci2.

Soluzione particolare dell’equazione completa

Metodo di somiglianza:

• Quando il termine noto dell’equazione completa ha una forma esponenziale, trigonometrica o polinomiale (o il prodotto di essi) si può cercare una soluzione particolare simile al termine noto.
• Forzante esponenziale: A A o costantibytay Cy assegnatedel iypltl.ce.atio radice è se NONo caratteristicopolinomio at del 4PM Cit è pd Se radice i e soluzione dell'omogenea Patti.
• Forzante polinomiale: by at pt ptay t CyYP Pn ItIN CatCia cato tc Paicista Yp ItIN CatCi t Cat tO 1h4PMFAI Praz voltedueo ay integro oppure.
• Forzante trigonometrica: by acoslktltpsenlk.tlt CYaybio 4PM Cio coskttczsenktobOK.cat Yp It t Cz Ktci costa seu.

Metodo di variazione delle costanti

TH ItlCi CattiZitti Zza GHIGNIi con incognite Zitti zzltlsdnz.eq.amI FAI Primaat condizionett bye C'Zi7 calza azi cazzt cizit.czcondizione Oseconda Zzimponiamo7 CiZi ZzCrtCi't7 G'Zzt Cazzozisostituendo C'Zi ftafcizitczzzftbfcizitc.az G'Zz tazzatalizizza CÈ citi fGizaci tricordando che ZzZi salute dell'egoe sono omogenea f Prima22Zi Cr condizionetic Zi Cr OZzt Eaincognite f22li Zi Crt Èlala Wiansirianadei ènot metcoefficienti tizzidataessendo linZi Zz Zza Oindir ipotesiper.

Calcolo infinitesimale

Calcolo vettoriale

Lo spazio sarà il nostro ambiente naturale. I suoi elementi (vettori) si indicheranno con una scrittura del tipo X21, dove sono le componenti del vettore. Il modulo (norma) di un vettore è Xi.

Si dice versore un vettore di modulo unitario Il III vers 01. La base canonica è costituita dai versori le 1,0112 la 0,0. Perciò si può anche scrivere EXilitn tXnlnXrletXzlztXi.

Due vettori si dicono paralleli se td.be bdteI 112 Of I 7 Prodotto scalare: si usa la notazione, è ben definito per due vettori di e ha per risultato 112 Ia un numero reale. Nel caso coso 1111 Inel 3 I oµn 1 dove è l’angolo compreso tra i due vettori. Angolo tra due vettori: cosa leilui III Prodotto vettoriale: il t'Insurxd Msi Meismaisa f luna mais.

Funzioni a valori vettoriali, limiti e continuità

Funzione tra due insiemi: se sono insiemi, una funzione è una legge che associa ad ogni elemento di uno e un solo elemento di. Funzione di una variabile: una funzione definita in AER funzione di più variabili una funzione definita in AER Funzione a valori reali: una funzione che che ha condominio IR funzione a valori vettoriali una funzione che ha condominio IR.

Limite

Consideriamo una funzione. Sia e sia 1kmI Rm1EUR X EI LElfh.ltthief O. Si dice che se finofino distanza Geometricamente significa che la tra il punto e il punto tende a zero per 1IN Xo. Proposizione: il limite della funzione a valori vettoriali si calcola componente per componente. Siano FinkIx fili EH Fi 1,2i112 m con El Rme sia 1 fm11,12. Allora per Xo 1IN lifila vi 1,2 solo inese se In altre parole, il limite della funzione a valori vettoriali si calcola componente per componente.

Funzione continua

Si dice che è continua in se Rm line FIER filo Fleete.

Teoremi

Teorema di unicità del limite: Se una funzione ammette limite, allora esso è unico.

Teorema permanenza del segno: Se IOFIA t.c.VE FIAIlOO Orelli OesDfinex.

Teorema del confronto: Rn hitf hi.AE 7 Med glilRt.c t.c.FM Esiano Ealmeno ung line hadFILIline le7Se 112FlinD egliela allora.

Curve regolari

Si dice arco di curva continua (cammino) in una funzione continua. Se la variabile si pensa come tempo, un arco di curva è la legge oraria; assegna la traiettoria e la posizione in ogni istante del punto.

Sostegno: insieme dei punti di percorsi dal punto (la linea geometrica).

Chiusa: se punto di partenza e di arrivo coincidono.

Semplice: se non ripassa mai dallo stesso punto.

Piana: se esiste un piano che contiene il suo sostegno.

Arco di curva regolare

Sia Rm, si dice che è derivabile in se esiste finito IERI toI Iline Elton Ittotin o. Velocità istantanea: Ito alla curva tangente. Velocità scalare: It'ItilVit. Accelerazione istantanea: I'hai recita Rm regolare Si dice arco di curva un arco tale che I'HIEIR tiesOI versore tangente Risulta ben definito il alla curva R'ItI I'Itil.

Curve piane

Grafico di funzioni: tXaibfix telaio XEY forma parametrica fay. Forma polare: fio cosa dell'IctFIN OECQ.chg fa senoy101 t t FIAflatcosa 101senosento cosa101I fila't flail1011I.

Lunghezza

Sia la parametrizzazione di un arco di curva Mm ra Ito bItti litriain e. Se considerate tutte le partizioni finite di ba Tsta P f Xo xn.bya exti È lfai.nlMINIIPesiste Supcito lDico che è rettificabile e chiamo lunghezza I all Una curva regolare su è rettificabile eb He'Hill dta.

Calcolo differenziale

Grafici e insiemi di livello

Il grafico di una funzione reale di più variabili Rnfi.AE è l’insieme dei punti di di coordinate 1 feelcurv.