Analisi matematica 1 - Note ed esercizi svolti su Insiemi, numeri reali e Principio di Induzione

Esercizi e complementi di Analisi 1

Donato Antonio Ciampa

Indice

1 Insiemi, numeri reali e principio di induzione 2

1.1 Concetti base sugli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Operazioni sugli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Alcune nozioni di logica elementare . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Campi ordinati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 I numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Il valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3 Proprietà delle potenze e dei logaritmi . . . . . . . . . . . 11

1.3 Sommatorie e coefficienti binomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 La sommatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2 Il fattoriale di n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.3 Coefficienti binomiali e binomio di Newton . . . . . . . . 13

1.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1 Insiemi ed estremi di un insieme . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.2 Il principio di induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Successioni e serie numeriche 25

2.1 Successioni numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.2 Tabella operativa dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Serie numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Funzioni 54

3.1 Funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1.1 Potenze e radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1.2 Funzioni esponenziali e logaritmiche . . . . . . . . . . . . 56

3.1.3 Le funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.4 Archi associati. Relazioni tra funzioni trigonometriche . . 60

3.1.5 Formule trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.1.6 Funzioni trigonometriche inverse . . . . . . . . . . . . . . 63

3.1.7 Funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.1.8 Le funzioni iperboliche inverse . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2 Proprietà delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3 Domini delle funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.4 Esercizi sulle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

i

4 Limiti e continuità 85

4.1 Limiti di funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.1.1 Forme indeterminate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.1.2 Limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.1.3 Metodo del confronto locale . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.1.4 Asintoti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.1.5 Continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2 Esercizi sui limiti di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5 Derivate e derivabilità 116

5.1 Derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.1.1 Significato geometrico. Retta tangente . . . . . . . . . . . 116

5.1.2 Derivabilità delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . 117

5.1.3 Comportamento delle funzioni non derivabili . . . . . . . 118

5.1.4 Derivate delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . 119

5.1.5 Calcolo dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.2 Esercizi sulla derivazione delle funzioni di variabile reale . . . . . 126

5.3 Derivabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6 Studio di funzioni 139

6.1 Determinazione della monotonia e della convessità . . . . . . . . . 139

6.1.1 Metodo del segno per determinare la monotonia . . . . . 139

6.1.2 Metodo del segno per la convessità . . . . . . . . . . . . . 140

6.1.3 Metodo delle derivate successive . . . . . . . . . . . . . . 140

6.1.4 Monotonia e convessità delle funzioni elementari . . . . . 140

6.2 Lo studio di funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6.3 Studio di funzioni di una variabile reale . . . . . . . . . . . . . . 143

7 Sviluppi di Taylor 215

7.1 Determinazione degli sviluppi di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . 215

7.1.1 Funzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

7.1.2 Funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

7.1.3 Funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

7.1.4 Funzioni binomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

7.1.5 Funzione logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

7.1.6 Funzioni trigonometriche inverse . . . . . . . . . . . . . . 221

7.1.7 Funzioni iperboliche inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

7.1.8 Formula di Taylor e calcolo di limiti . . . . . . . . . . . . 224

7.2 Esercizi sugli sviluppi di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

8 Integrali in una variabile 240

8.1 Integrali immediati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

8.2 Formule e metodi di integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

8.2.1 Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

8.2.2 Metodo di sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

8.2.3 Integrazione delle funzioni irrazionali . . . . . . . . . . . 243

8.2.4 Integrazione delle funzioni razionali fratte . . . . . . . . . 250

8.2.5 Integrazione delle funzioni trigonometriche . . . . . . . . 254

8.2.6 Integrale differenziale binomio . . . . . . . . . . . . . . . . 255

8.3 Esercizi sugli integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

ii

8.3.1 Integrali indefiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

8.3.2 Integrali definiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

8.3.3 Integrali impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

9 Numeri complessi 317

9.1 Esercizi sui numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

10 Equazioni differenziali 332

10.1 Equazioni differenziali del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . 332

10.1.1 Variabili separabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3320

10.1.2 Equazioni della forma y = f (ax + by), a, b ∈ R. . . . . . 332

10.1.3 Equazioni omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

10.1.4 Equazioni della forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3330

10.1.5 Equazioni della forma y + p(x) · y = q(x). . . . . . . . . . 3340 α

10.1.6 Equazioni della forma y + p(x) · y = q(x) · y . . . . . . . 3350

10.1.7 Equazioni della forma x = f (y ). . . . . . . . . . . . . . . 3350

10.1.8 Equazioni della forma y = f (y ) . . . . . . . . . . . . . . . 3350 0

10.1.9 Equazioni della forma y = xy + f (y ). . . . . . . . . . . . 3360 0

10.1.10 Equazioni della forma y = x · f (y ) + g(y ). . . . . . . . . 336

10.2 Equazioni del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3360 00

10.2.1 Equazioni della forma F (x, y , y ) = 0. . . . . . . . . . . . 3360 00

10.2.2 Equazioni della forma F (y, y , y ) = 0. . . . . . . . . . . . 3370 00

10.2.3 Equazioni della forma F (x, y, y , y ) = 0, omogenea in 0 00 y, y , y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

10.3 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

10.3.1 Risoluzione dell’equazione omogenea. . . . . . . . . . . . . 338

10.3.2 Ricerca della soluzione particolare . . . . . . . . . . . . . 338

10.4 Esercizi sulle ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

10.4.1 Equazioni differenziali del primo ordine . . . . . . . . . . 342

10.4.2 Equazioni differenziali di ordine superiore al primo a coefficienti costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

1

Capitolo 1

Insiemi, numeri reali e principio di induzione

1.1 Concetti base sugli insiemi

Il concetto di insieme è di tipo “primitivo”: ciò vuol dire che la sua definizione viene assunta a prescindere da altri concetti più elementari.

Un insieme è una collezione di oggetti a priori non specificata. Denotiamo un insieme con le lettere maiuscole latine A, B, C, · · · . Dato un insieme A, gli oggetti che si trovano in A si chiamano elementi di A, e vengono elencati con lettere minuscole dell’alfabeto latino. Se a è un elemento di A, scriveremo a ∈ A, mentre se a non è un elemento di A scriveremo a ∈/ A.

Siano A, B due insiemi: se accade che tutti gli elementi di A si trovano anche in B e, viceversa, tutti gli elementi di B si trovano anche in A, diremo che gli insiemi sono uguali e scriveremo A = B.

Possiamo riscrivere questa condizione con il simbolismo matematico al modo seguente: ∀ x (x ∈ A =⇒ x ∈ B) e ∀ x(x ∈ B =⇒ x ∈ A).

Abbiamo introdotto i seguenti simboli logici:

• ∀ si chiama quantificatore universale e si legge “per ogni”: sta ad indicare che le proprietà elencate dopo di esso valgono per ogni elemento nell’insieme in cui sono studiate;
• =⇒ si chiama implicazione logica e si legge “se... allora”: sta ad indicare che le proprietà che lo precedono implicano, per causalità logica, quelle che lo seguono.

Se accade che tutti gli elementi di A si trovano anche in B, allora diremo che A è incluso in B e scriveremo A ⊆ B. In forma simbolica possiamo scrivere che ∀ x (x ∈ A =⇒ x ∈ B).

Diremo allora che A è un sottoinsieme di B.

2

Se A è incluso in B, ma B contiene elementi che non si trovano in A, diremo che A è incluso strettamente in B e scriveremo A ⊂ B. In forma simbolica si ha ∀ x (x ∈ A =⇒ x ∈ B) e ∃ x ∈ B : x ∈/ A.

Abbiamo introdotto altri due simboli logici:

• ∃ si chiama quantificatore esistenziale e si legge “esiste”: sta ad indicare che nell’insieme studiato c’è almeno un elemento che soddisfa la proprietà enunciata in seguito;
• : che si legge “tale che”: sta ad indicare che gli elementi elencati che lo precedono soddisfano le proprietà elencate che lo seguono.

Teorema 1 Siano A e B due insiemi. Allora A = B se e solo se A ⊆ B e B ⊆ A.

Dimostrazione. Supponiamo che A = B: allora gli elementi dei due insiemi A ⊆ B e che B ⊆ A, poiché ciascuno dei due insiemi contiene tutti gli elementi dell’altro.

Viceversa, supponiamo che valgano le due inclusioni e ragioniamo per assurdo. Supponiamo che allora A 6 = B: ciò vuol dire che esiste almeno un elemento a ∈ A tale che a ∈/ B e che esiste almeno un elemento b ∈ B tale che b ∈/ A. Ma allora né A è incluso in B, né B è incluso in A, cosa assurda visto che siamo partiti da tale ipotesi. Ne segue che deve essere necessariamente A = B. 2

Il Teorema 1 si dice Teorema della doppia inclusione. Esso costituisce un importante risultato in quanto asserisce che, al fine di dimostrare l’uguaglianza tra due insiemi, è necessario e sufficiente far vedere che i due insiemi sono uno incluso nell’altro reciprocamente.

1.1.1 Operazioni sugli insiemi

Definiremo ora, in maniera formale, alcune operazioni tra insiemi. Innanzitutto, vediamo che possiamo definire un insieme in maniera analitica nel modo seguente A = {x ∈ X : x soddisfa la proprietà P}.

Vediamo cosa significa la precedente scrittura:

• A è l’insieme che si vuole definire;
• X rappresenta un insieme grande, detto insieme Universo, all’interno del quale si trovano gli elementi che vogliamo includere nell’insieme A (ed in generale A ⊆ X);
• P indica una proprietà che tutti gli elementi x dell’insieme A devono soddisfare.

Ad esempio, se X = {1, 2, 3, . . . , 99, 100} è l’universo dei primi 100 numeri naturali, allora possiamo definire gli insiemi A = {x ∈ X : x è pari}, B = {x ∈ X : x è dispari}, C = {x ∈ X : x è multiplo di 5},

3

oppure se Y è l’insieme di tutti gli studenti dell’Università, possiamo definire gli insiemi D = {x ∈ Y : x è donna}, E = {x ∈ X : x è uno studente di ingegneria}, e così via.

A questo punto possiamo dare le seguenti definizioni.

Siano A, B due insiemi nell’universo X. Si chiama unione di A e B l’insieme A ∪ B = {x ∈ X : x ∈ A ∨ x ∈ B}. (1.1)

e si chiama intersezione di A e B l’insieme A ∩ B = {x ∈ X : x ∈ A ∧ x ∈ B}. (1.2)

Tali definizioni hanno senso quando, tra gli insiemi possibili, si considerano anche tutto l’universo X e l’insieme vuoto ∅: tale insieme può essere pensato come un contenitore all’interno del quale non vi sia nulla (e non come se fosse nulla, errore abbastanza comune per altro!). In particolare, risulta che se A e B non hanno elementi in comune, allora A ∩ B = ∅. Inoltre A ∪ B = ∅ ⇐⇒ A = ∅ e B = ∅, cioè l’unione di due insiemi è vuota se e solo se entrambi gli insiemi sono vuoti.

Vale il seguente 2

Teorema 2 Siano A, B, C insiemi nell’universo X. Allora A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C, A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),