Analisi 1 - Insiemi, Funzioni, Principio di Induzione, Logica & Numeri Complessi

Analisi

• Insiemi p.2
• Iniettività, suriettività, biettività p.3
• Strutture algebriche p.8
• Insiemi e principio di induzione p.14
• Funzioni p.20
• Logica p.32
• Numeri complessi p.34

Analisi

• Insiemi p.2
• Iniettività, suriettività, biettività p.3
• Strutture algebriche p.8
• Insiemi e principio di induzione p.14
• Funzioni p.20
• Logica p.32
• Numeri complessi p.34

Insiemi

Insieme = collezione di elementi con una certa proprietà (♁) indicati graficamente con i diagrammi di Venn.

Lettera maiuscola; gli elementi in minuscolo.

a ∈ A ⇾ appartenenza

a ∉ A ⇾ non appartenenza

Concetti di insieme e di elementi appartenenti ad esso ⇾ primitivi.

Determinazione

Estensione → si scrivono tutti gli elementi.

Comprensione → se ne descrive una proprietà.

Operazioni tra insiemi

Unione ⇾ ∪

A ∪ B → insieme degli elementi che appartengono ad A o a B.

A ∪ B: {a: a ∈ A ∨ a ∈ B} → proprietà dell'insieme.

Intersezione ⇾ ∩

A ∩ B → insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B.

A ∩ B: {a: a ∈ A ∧ a ∈ B}

Insiemi disgiunti → l'intersezione è l'insieme vuoto ⇾ A ∩ B = ∅

Differenza → fra insiemi non disgiunti.

A/B → insieme degli elementi che appartengono ad A e non a B.

A/B: {a: a ∈ A ∧ a ∉ B}

Sottoinsiemi

A ⊂ B → A è sottoinsieme di B se tutti gli elementi di A sono contenuti in B.

Se a ∈ A ⟹ a ∈ B.

A = B ⟶ A ⊂ B ∧ B ⊂ A (Ogni elemento di A è contenuto in B, ogni elemento di B è contenuto in A).

A ⊂ B, se a ∈ A ⟹ a ∈ B ∧ ∃ b: b ∈ A ∧ b ∉ B.

A sottoinsieme proprio → A è contenuto ma non è uguale a B (A contenuto strettamente in B).

Insieme delle parti P(I) = insieme dei sottoinsiemi.

Proprietà degli insiemi

Unione, intersezione sono commutabili.

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

Associatività.

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

A ∪ ∅ = A

A ∩ ∅ = ∅

A ∪ A = A

A ∩ A = A

(A ∪ B)C = A ∩ (C ∪ B)

(A ∩ B)C = A ∪ (C ∩ B)

(A ⊆ C) (B ⊆ D) ⟹ A ∪ B ⊆ C ∪ D

(A ⊆ C) (B ⊆ D) ⟹ A ∩ B ⊆ C ∩ D

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A′ = X/A = {x ∈ X : x ∉ A}

(A′)′ = A

(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′

(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

[...] leggi di De Morgan.

Prodotto cartesiano

Prodotto cartesiano A × B = {(a,b) | a ∈ A e b ∈ B}

Se B = A ⟹ A × A = A²

Funzioni

f : A → B. Ad ogni elemento di A viene associato al più (o nessuno, o solo 1) un elemento di B.

Se ci sono più associazioni di codominio, l'associazione viene detta relazione.

f(a) ∈ B, ∀ a ∈ A ∃! b ∈ B; f(a) = b

f(x) = 2x/(x - 3) ⟹ non definita su tutti i reali.

D = ℝ/{3}

Iniettività, suriettività, biettività

Funzione iniettiva

Da x diverse nel dominio ci sono y diversi del codominio per ogni elemento del codominio esiste al più un elemento del dominio.

Se x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

x₁ = x₂ ⇒ f(x₁) = f(x₂)

Se è una funzione, ma non è iniettiva.

La proprietà deve essere valida per tutti gli elementi di un insieme.

Funzione suriettiva

Ogni punto dell’insieme di arrivo è ottenuto dal dominio.

∀ y ∈ B ∃ x ∈ A : f(x) = y

Funzione biettiva (biunivoca)

La funzione è sia suriettiva che iniettiva f corrispondenza biunivoca fra A e B.

Immagine e controimmagine

f : A → B

Immagine

Insieme delle immagini di A = f(A).

Immagine = codominio.

f(A) = {b ∈ B : ∃ a ∈ A : f(a) = b}

Controimmagine

C ⊂ B

f^-1(C) = sottoinsieme di A formato dagli elementi di A la cui immagine tramite f, cade in C ⊂ B controimmagine e dominio.

Insieme delle controimmagini di C = f^-1(C).

f^-1(C) = {a ∈ A : f(a) ∈ C}