Analisi matematica 1 - Appunti a mano

Introduzione alla teoria degli insiemi

x ∈ A

A ∪ B → l'insieme di tutti e soli gli elementi che appartengono ad A o a B

A ∩ B → l'insieme composto da tutti e soli gli elementi che appartengono ad A e B

A \ B → Differenza: {x ∈ A : x ∉ B}

∅ è unico!! (Presi due insiemi vuoti essi hanno gli stessi elementi e sono lo stesso insieme.)

Esempio

A = insieme delle donne

B = insieme delle persone coniugate

A ∪ B = donne e mariti

A ∩ B = mogli

A \ B = donne singole

B \ A = mariti

Esempio

N₂ = {0, 1, 2, 3, ...} N₃ = {1, 2, 3, ...}

A = {m ∈ N₁ : divisibili per 4} B = {m ∈ N₃ : divisibili per 6}

A ∪ B = divisibili per 4 o per 6

A ∩ B = divisibili sia per 4 che per 6

A \ B = divisibili per 4 ma non per 6 (o anche solo per 3)

B \ A = divisibili per 6 ma non per 4

Prodotto cartesiano degli insiemi

A × B = { (a,b) , a ∈ A, b ∈ B} insieme delle coppie ordinate i cui primo termine appartiene ad A e il secondo a B.

f : A → B Dominio Codominio

f(a) = b funzione da A in B. f leggo che ad ogni elemento di A fa corrispondere un ben preciso elemento di B.

È tutto l'insieme di arrivo, mentre < Immagine sono solo gli f(a).

Esempio

sim(x) = IR → IR, ma {sim(sin(x)) -1 esempio

5m(eˣ) = x > 0

Esempio

y = x³ f(x) = x³. La sua immagine è tutto IR.

Esempio

Catalogo è un'applicazione di A → B in cui A: oggetti in vendita B: numeri con 2 cifre decimali (prezzi in €)

A = insieme dei nomi italiani

B = insieme dei cognomi italiani

A × B = insieme dei possibili nomi e cognomi italiani

f : musica che citando tre figli di cui uno maschio e cognome, la sua Immagine sono dei effettivi unioni a cognomi italiani

Introduzione alla teoria degli insiemi

x ∈ A

A ∪ B → l’insieme di tutti e soli gli elementi che appartengono ad A o a B

A ∩ B → l’insieme composto da tutti e soli gli elementi che appartengono ad A e B

A \ B → Differenza: {x ∈ A : x ∉ B}

∅ È unico! (Poiché due insiemi vuoti essi hanno gli stessi elementi ed sono lo stesso insieme.)

Esempio

A → insieme delle donne

B → insieme delle persone coniugate

A ∪ B → donne e mariti

A ∩ B → mogli

A \ B → donne singole

B \ A → mariti

Esempio

N₂ = { 0, 1, 2, 3 ... }

N_₂ = {1, 4, 3 ... }

A = { m ∈ N : divisibile per 4}

B = { m ∈ N : divisibile per 6}

A ∪ B → divisibili per 4 o per 6

A ∩ B → divisibili sia per 4 che per 6

A \ B → divisibili per 4 (ma non per 6 o anche solo per 3)

B \ A → divisibili per 6 ma non per 4

Prodotto cartesiano degli insiemi

A × B = { (a,b) , a ∈ A, b ∈ B} insieme delle coppie ordinate il cui primo termine appartiene ad A e il secondo a B.

f : A → B Applicazione da A in B Dominio → Codominio

È tutto l’insieme di arrivo, mentre l’Immagine sono solo gli f(a) (l’insieme delle f(a) al variare di a nel dominio)

Esempio

f: sin(x) : IR → IR, ma { sin(sin(x)) ... } -1 < x < ⧝

Esempio

y = x³; f(x) = x³ e la sua immagine è tutto IR.

Esempio

Esempio

Catalogo è un’applicazione di A → B in cui:

A: oggetti in vendita

B: numeri con 2 cifre decimali (prezzi in €)

A = insieme dei nomi italiani

B = insieme dei cognomi italiani

A × B: insieme dei possibili nomi e cognomi italiani

F è un'unica che è associato ad un unico e cognome, la sua Immagine sono dei effettivi unici e cognomi italiani.

Iniettiva

2 ≠ 2₂ → f(2₁) ≠ f(2₂)

Controinversale: se f(2₁) = f(2₂) → 2₁ = 2₂

Suriettiva

∀ b ∈ B ∃ a ∈ A : f(a) = b

Applicazione

Esempi: Quali delle seguenti definiscono una funzione f: R → R?

• Y = x sì
• Y = x² no, sebbene ∃ x ci sono 2 y che non se sono mai
• Y = x no, sebbene il dominio usuale è tutto R, se lo restringiamo ad R₊ ottiene sì.
• Y = &sqrt;x soltanto se il dominio è R₊
• Y = |x| sì
• |y| = x solo se il dominio è R₊
• Y = sin x sì
• Sin y = x → y = arcsin x solo se il dominio è [-1,1]
• Y = tg x solo se il dominio è R \ {multipli dispari di π/2}
• Tg y = x → y = arctg x   y ∈ [-π/2; π/2]   e ok seg di seno.

Verifichiamo l'iniettività e la suriettività

y = x - id_R è certamente Bigettiva

y =