Analisi matematica 1 - Appunti

Teorema Bolzano - Weierstrass

= { a_n, n ∈ N } Se ... è una succ. limitata allora ammette una sottosucc. convergente (fai monotona crescente battue intera)

Esempio 1

a_n = (-1)ⁿ ⇒ E = { a_n, n ∈ N } = {-1, 1} elementi assul-della succ.

a_n = sin (n) ⇒ E = { sin (n) / n ∈ N } = si immane ... di vetorei inflovsi.€ ... ... numito della ...

Teo. ∃ k_n: N → N sin (k_n) → l k_n ⬆

Lavoro operato sui N.M.1

Dim { a_n } à limitata ⇒ ∃ a, b: a_n ∈ [a, b]

E = { a_n, n ∈ N } ∃ b C [a, b]

Eserc. 1 ... ... c'è di proci.... finito ... ...... ...b... ...am ⤑ d_n, ... solu limitata ⇒ ∃ k_n ⬆ α_m ⊆ E: α_kn = α_m0 infinile veritoadier... di allerali limit (R).

{ a_nm } ⊆ { a_n }

a_nm = d_m0 costante ⇒ a_kn → α_m0

Teorema (Bolzano-Weierstrass)

E = { a_n, m ∈ N }

Se è una succ. limitata allora ammette una sottosucc. convergente (se monotona converge tutta intera).

Esempio 1

a_n = (-1)ⁿ ⇒ E = { a_n, m ∈ N } = {-1, +1} elementi a due a due

a_n = sin(n)^m ⇒ E = { sin(n)^m / m ∈ N } = { } insieme dei vettori infinitesimi

Teo. ∃ k_m: N → N sin(k_m) → l

Dim {a_n} è limitata => ∃ a, b : a_n ∈ [a, b]

E = { a_n, m ∈ N } ∃ E ⊂ [a, b]

Esercizio 1

E è un insieme finito che contiene un numero finito di punti: { a₁,…,a_m }

L_N - ⇨ a_n { L_I = [y,...,z] }... ⇨ am ⇨ d_n sv sono limitati => ∃ ↗ k_m

α_m ∈ E : k_m → α_m0 : infiniti indici cadono definizione successiva { a_nj } ⊂ { a_n } a_nj = d_m0 : costante => a_km → α_m0

Ipotesi: a_n monotona

Se a_n è mont. cresc. e illimitata sup. ⇒ a_n → +∞ _n→∞

Se a_n ¬ è limitata sup. ⇒ a_m → sup {a_n, m ∈ N} _n→∞

A_n analoga

→ logaritmo in base e = ln ln_e ⋅ log_e x in (0, +∞) ↑

Corollario

Se a_n è monotona e limitata allora a_n è convergente

Se a_m monotona + ∃ _{akn} a_kn → l ⇒ a_m → l _{{k→∞}^j→∞}

Prop. 2

a_m → l ⟺ ∀ _{akm} {a_nj: a_km → l _{j→∞}}

Dim. 1

{a_m} è limitato ⇒ E = {a_m, m ∈ N}

inf_E e l > -∞ sup_E = L a_m ↑ ⇒ a_m → L

a_m ↓ ⇒ a_m → l

Dim. 2

{a_m} ∉_urn ┌────┐ = +∞

a_m → l (sup {a_m, m ∈ N})

∃ a_km l_s dalla prop. 2 l = la_km⇀+ + ∞ a_k⇀+