Analisi Matematica 1

  ℝ cos campo

Dire che è un campo significa dire che DOMINIO, IMMAGINE, CONTROIMMAGINE Sia ℝ : ⊆ ℝ → ℝ.in sono definite le operazioni di addizione e Ricordiamo che: − +√6 √2 √6 √2 2 − √315° = 12moltiplicazione con le proprietà commutativa, - D si chiama dominio o insieme di definizione di f; 4 4 ∈ , ℝassociativa e distributiva. - Per l’unico elemento di che f associa a x − 1√518° = √(10 5 − 2√5+ 2√5)  si chiama valore di f in x, o anche immagine di xESISTENZA DEGLI ELEMENTI NEUTRI Esistono due 10 √4 5tramite f; si denota con f(x);ℝ,elementi distinti di denotati con 0 e 1, tali che 4′ ′ )′ ⊆ , ( ≔ {()| ∈ }- Per l’insieme si 1a+0=a, a*1=a √3 √330° =  chiama immagine di D’ tramite f; 6ESISTENZA DEGLI INVERSI (opposto, reciproco) 2 2 3- f(D) si chiama immagine di f; notazione ∈ ℝ ℝ,Per ogni esiste un unico elemento di che si 1√2 √245° =alternativa imm(f);denota con –a e si chiama opposto di a, tale che a+(- 4 2 2 ⊆ ℝ, { ∈ |() ∈ }- Per l’insieme si chiama ∈ ℝ\{0}a)=0. Per ogni esiste un unico elemento di 1√3 √360° =controimmagine (o immagine reciproca) di Y-1ℝ che si denota con a e si chiama reciproco di a, tale 3 22tramite f.-1che a*a =1. 1 0 / 90° = 

Informazioni deducibili da un grafico

ℝCAMPO ORDINATO Dire che è un campo 2Assegnato il grafico di una funzione f=f(x):ℝordinato significa dire che in è definita una 180° = 0 −1 0- dom(f) è la proiezione del grafico sull’asse dellerelazione d’ordine <=, detta relazione di minore o 3 −1 0 /270° = ascisse;uguale, con la proprietà di compatibilità rispetto 2- imm(f) è la proiezione del grafico sull’asse delleall’addizione ed alla moltiplicazione. 0° = 360° = 2 0 1 0 ordinate;MAGGIORANTE Sia X un qualunque insieme ∈ (), ( )- per il valore è l’ordinatatotalmente ordinato. Sia E un sottoinsieme non vuoto 0 0dell’unico punto del grafico di f che si trova sulla ∈ di X e sia X. Diciamo che è un maggiorante di E = retta di equazione . ≤ ∈ .(in X) se per ogni 0 ∈ (), - per la controimmagine di èLIMITATO SUPERIORMENTE e ILLIMITATO 0 0formata dalle ascisse dei punti del grafico di f che ------------------------------------------------------------------------SUPERIORMENTE Se l’insieme dei maggioranti di = si trovano sulla retta di equazione . E in X è non vuoto, diciamo che E è limitato DISEQUAZIONI ELEMENTARI CON LA FUNZIONE0 FUNZIONI superiormente; in caso contrario, diciamo che E è POTENZA ∈ ℝ : ℝ →- FUNZIONE COSTANTE Sia e sia illimitato superiormente. < ⇔ <- n dispari, √ ℝ () = ∈ ℝ.tale che per ogniMAGGIORANTE e ESTREMO SUPERIORE Sia E > ⇔ >- n dispari, √ : ℝ → ℝ- FUNZIONE IDENTICA Sia tale chelimitato superiormente in X. Supponiamo che esista > 0, < ⇔ − < <- n pari, √ √ ∈ ℝ.f(x)=x per ogni ∈ , maggiorante di E, soddisfacente la seguente ≤ 0, < ⇔  : ℝ ∗→ ℝ- FUNZIONE RECIPROCO Sia tale che ∈ < , proprietà: se allora non è un > 0, > ⇔ < − >√ √1 ∈ ℝ ∗.maggiorante di E. Allora si chiama l’estremo f(x)= per ogni ≤ 0, ≥ ⇔ ∀ ∈ ℝsuperiore di E in X e si denota con il simbolo sup E.  : ℝ → ℝ- FUNZIONE VALORE ASSOLUTO Sia DISEQUAZIONI ELEMENTI CON LA FUNZIONE PROPRIETÀ DELL’ESTREMO SUPERIORE  ∈ ℝ.tale che f(x)=|x| per ogni Notiamo RADICEPerℝ ∈- PROPRIETÀ ARCHIMEDEA DI ogni x,y esplicitamente che: < ⇔ < ≤- n dispari, oppure√ℝ, ∈ ℕ ∗con x,y>0, esiste tale che nx>y. ≥ 0 ≤ √() = {ℚ ℝ − < 0- PROPRIETÀ DI DENSITÀ DI IN Per ogni x,y > ⇔ > ≥- n dispari, oppure√- FUNZIONE PARTE INTERA INFERIORE O FLOOR∈ ℝ, ∈ ℚcon x<y, esiste tale che x<q<y. ≥ √ : ℝ → ℝ ∀ ∈Sia definita ponendo f(x)=⌊⌋ MINORANTE, LIMITATO/ILLIMITATO INFERIORM. ≥ 0, > ⇔ > - n pari, √⌊⌋ℝ, dove denota il più grade intero minore oℝ.Sia E un sottoinsieme non vuoto di Diciamo che > 0, < ⇔ 0 ≤ < √uguale a x. ∈ ℝ ℝ) ≥ è un minorante di E (in se per ogni < 0, > ⇔ ∀ ∈ ℝ √- FUNZIONE PARTE FRAZIONARIA O MANTISSA ∈ . Diciamo che E è limitato inferiormente se ≤ 0, < ⇔ : ℝ → ℝ √Sia definita ponendo m(x) = x -l’insieme dei minoranti di E è non vuoto; diciamo che ------------------------------------------------------------------------⌊⌋ ∀ ∈ ℝ.E è illimitato inferiormente in caso contrario. Sia ESEMPI: ⊆ ℝ : →- FUNZIONI MONOTÒNE e sia ESTREMO INFERIORE e MINIMO Sia E limitato  66 6 + 1 < 0 ⇔ < −1 ⇔ < ⇔ < −1√−1ℝinferiormente. Esiste allora in il più grande dei  6 66 6 − 4 > 0 ⇔ > 4 ⇔ < −√4 > √4ℝ. Si diche che f è inminoranti di E, che si chiama estremo inferiore di E e  77 7 − 4 > 0 ⇔ > 4 ⇔ > √4si denota con inf E. Se inf E appartiene a E, diciamo  8 88 8 − 6 ≤ 0 ⇔ ≤ 6 ⇔ −√6 < < √6che inf E è il minimo di E e lo denotiamo con min E. , ∈ < D se per ogni tali che si ha1 2 1 2  )( ≤ ( )LIMITATO SUPERIORMENTE/INFERIORMENTE Sia 1 2  33 < 3 ⇔ < 3 ⇔ < 27 ⊆ ℝ )un insieme non vuoto. Se E è limitato sia ( < ( ) √1 2  4superiormente che inferiormente, il suo estremo ≥ 2 ⇔ > 16)( ≥ ( ) √1 2 superiore e il suo estremo inferiore sono due numeri − 8 ≤ 0 ⇔ ≤ 8 ⇔ 0 ≤ ≤ 64) √ √( > ( )1 2reali caratterizzati dall’essere il più piccolo dei  ------------------------------------------------------------------------- FUNZIONI SIMMETRICHE Sia f una funzionemaggioranti di E e il più grande dei minoranti di E. tale che dom(f) sia simmetrico rispetto ILLIMITATO SUPERIORMENTE/INFERIORMENTE ∈all’origine. Se per ogni x dom(f) si haSe E è illimitato superiormente, scriviamo sup E = f(-x)=f(x) si dice che f è una funzione pari.+∞. Se E è illimitato inferiormente, scriviamo inf E = f(-x) = -f(x) si dice che f è una funzione−∞. dispari. - FUNZIONI PERIODICHE Sia T>0. Una funzionesi dice periodica di periodo T se: ∈ () ∈per ogni x si ha x + T dom (f); ( + ) = () ∈ ()per ogni x- COMPOSIZIONE DI FUNZIONI Siano f e g due{ ≔ ∈funzioni (qualsiasi) e si sia:()|() ∈ ()}. Se D è non vuoto,definiamo la funzione composta di f e g, che( ∘ , ∘ )() ≔denotiamo con ponendo(()) ∈per ogni x D.  : ⊆ ℝ → ℝ.- FUNZIONI INVERTIBILI Sia ∈Diciamo che f è invertibile in D se per ogni() () = l’equazione ha una e una sola soluzione in D.  : → ℝ- FUNZIONE INVERSA Sia unafunzione invertibile. La funzione, definita in f(D) ea valori in D, che a ogni elemento y di f(D) facorrispondere l’unico elemento x di D tale chef(x)=y, si chiama funzione inversa di f e si denota-1con il simbolo f .  : ⊆ ℝ → ℝMONOTONIA e INVERTIBILITÀ Siastrettamente crescente [decrescente]. Allora:- f è invertibile in D;-1- f è strettamente crescente [decrescente]1  RADICI radice n-esima; potenza con√ esponente frazionario. = ⟺ = - √ ( ) = - √ ( ) = - √

Successioni e serie numeriche

 Esistono successioni illimitate inferiormente che SERIE NUMERICHESUCCESSIONI e SERIE NUMERICHE non divergono negativamente. SOMMA PARZIALE (o RIDOTTA) + SERIE DI TERMINE SUCCESSIONE NUMERICA Si chiama successione   { }TEOREMA: REGOLARITÀ DELLE SUCCESSIONI a Sia una successione di numeri reali. ∈ℕnnumerica ogni funzione reale definita in un insieme MONOTONE Ogni successione monotona è Definiamo la somma parziale (o ridotta) n-esima{ ∈ ℕ| ≥ }, del tipo con numero naturale.0 0 regolare. Precisamente: ponendo:Parlando di successioni, solitamente denotiamo: { } ⟹ lim = sup ≔ 1. crescente - 0 0;- La variabile indipendente con →+∞ ≔ + -{ } ⟹ lim = inf 1 0 12. decrescente- Il valore che la successione assume in un numero …-→+∞ C’è un COROLLARIO il quale afferma che:naturale con il simbolo chiamato termine n- =0∑ ≔ + + ⋯ + = - 0 1  { }Supponiamo che la successione siaesimo della successione. { } La successione si chiama serie di termine . { } monotona. Allora:- L’immagine della successione con  { }NOTA Se la successione è definita solo per ∈ℕ { }) { } ⟺ { }(oppure 1. converge è limitata; ≥ = 0 < , conveniamo di porre per . Ne 0 0{ } ⟺ { }Il grafico di una successione è costituito da infiniti 2. diverge è illimitata. segue che in quanto diremo non sarà restrittivo  (, ), ∈ ℕ, ≥ punti isolati di coordinate con . LIMITI E OPERAZIONI ALGEBRICHE Supponiamo { }supporre che la successione sia sempre definita 0  → ∈ ℝ → ∈ ℝ.e Allora:PROLUNGAMENTO DI UNA SUCCESSIONE Diciamo ∈ ℕ.per ogni + → + che una funzione è un prolungamento della - REGOLA DELLA SOMMA:  SUCCESSIONE DELLE SOMME PARZIALI S La serie n{ } − → − successione se è definita nell’intervallo - REGOLA DELLA DIFFERENZA di termine non è altro che la successione delle → ( ∈ ℝ)[ , +∞) () = ≥ - REGOLA DEL MULTIPLO:e si ha per ogni . somme parziali costruite a partire da . Pertanto,0 0   → - REGOLA DEL PRODOTTO:SUCCESSIONE MONOTONA Per verificare se una la locuzione la serie di termine è 1 1successione è monotona basta confrontare tra loro → ( ≠ 0)- REGOLA DEL RECIPROCO: convergente/divergente positivamente/divergente termini consecutivi. Più nel dettaglio, una negativamente/regolare/indeterminata equivale alla → ( ≠ 0)- REGOLA DEL RAPPORTO:{ }successione è: locuzione la successione delle somme parziali  PROPOSIZIONE: RECIPROCO DI UNA SUCCESSIONE ≤ ;- CRESCENTE se e solo se per ogni costruite a partire da è convergente/divergente +1  { }INFINITESIMA Sia una successione <- STRETTAMENTE CRESCENTE se e solo se positivamente/divergente negativamente/regolare/ infinitesima. Allora: ;per ogni indeterminata.+1 { } ⇒1. ha segno costante (definitivamente) ≥ ;- DECRESCENTE se e solo se per ogni { } Se la serie è regolare, il limite della successione +1 1 >- STRETTAMENTE DECRESCENTE se e solo se { } diverge, positivamente o negativamente, a prende il nome di somma della serie e si denota con ;per ogni il seguente simbolo:+1 seconda del segno di .Facciamo delle osservazioni: +∞{ } ⇒2. non ha segno costante (definitivamente) Se una funzione prolungamento di una ∑ 1 { } non ha limite.successione è monotona, anche la successione =0  lo è.

Operazioni con successioni divergenti

 Si potrebbe erroneamente pensare che la una serie significa stabile se essa converge, diverge o{ } { }Siano e successioni divergenti: npresenza del termine “oscillante “(-1) implichi = è indeterminata. Se definitivamente, le serie- Se le due successioni divergono con lo stesso mancanza di monotonia; non è detto che sia di termini e hanno lo stesso carattere. Tuttavia,{ + }segno, la successione somma diverge così. se entrambe convergono, in genere le rispettivecon lo stesso segno. Per “farsi una idea” dell’andamento di una somme non sono uguali. Si usano i seguenti simboli ≠ 0, { }- Se la successione multiplo diverge, successione è utile esplicitarne i primi termini; per denotare la serie di termine{ } > 0,con lo stesso segno di se con segno tuttavia, ciò non è sufficiente a stabilire che la (indipendentemente dal fatto che essa sia regolare o < 0.opposto sesuccessione sia monotona. no):{ }- La successione prodotto diverge,  +∞SUCCESSIONI LIMITATE Dato che ogni successione positivamente se le due successioni divergono ∑ ∑ è una funzione, ha senso parlare di successioni con lo stesso segno, negativamente se le due limitate inferiormente, limitate superiormente e =0 successioni divergono con segni opposti.  CONDIZIONE NECESSARIA PER LA CONVERGENZA DIlimitate, nonché di estremo inferiore ed estremo 1{ }- La successione reciproco è infinitesima.  UNA SERIE Se la serie di termine converge,superiore e di minimo e massimo di una successione.   { }TEOREMA: PERMANENZA DEL SEGNO Sia { }allora la successione è infinitesima;  PROPRIETÀ VERE DEFINITIVAMENTE Una ∈ ℝ → .una successione, sia e si supponga l’implicazione contraria è falsa. proprietà è vera definitivamente se è vera per > 0 ⇒ > 0 → 0[In pratica: la condizione è necessaria ma non ∈tutti gli n sufficientemente grandi, cioè se esiste 1.