Teoria e teoremi analisi I

Teoremi

Irrazionalità di √2

Hp x²=2 MCD(p,q)=1 th x∉ℚ D x∈ℝ

Sia x=P/Q P,Q∈ℤ q≠0 P²/Q²=2 P²=2Q² implica D P² è pari, quindi P è pari P=2S implica 2Q²=4S²=Q² implica D Q è pari MCD(P,Q)≠1 assurdo MCD(P,Q)=2

Formule di De Moivre

Hp z,ω∈ℂ th zω=pr(cos(θ₁+θ₂)+isen(θ₁+θ₂)) z=ρ(cosθ₁+isenθ₁) ω=r(cosθ₂+isenθ₂)

zω=pr(cosθ₁cosθ₂-senθ₁senθ₂+isenθ₁cosθ₂+icosθ₂senθ₁-isenθ₁senθ₂)=pr(cos(θ₁+θ₂)+isen(θ₁+θ₂))

cos(x+β)=cosαcosβ-senαsenβ sen(x+β)=senαcosβ;+cosαsenβ

Radici n-esime di un numero complesso

Sia z∈ℂ\{0}, n∈ℕ, 1≤n

Alla cerca di radici di un numero complesso ω_k∈ℂ k=0,1,...,n-1 tc ω_kⁿ=z vale che se z=ρ(cosα;+isenα;x) ω_k=^n√p(cos(^α;+2kπ⁄_n)+isen(^α;+2kπ⁄_n))

Sia ω_k z∈ℂ, z≠0 via ω_k=ρ(cosx+isenx) ω_k è radice n-esimo di z(ω;k)ⁿ=z ⇒ ρ^m(cos(nx)+isnx)=r(cosα;+isenα) ρⁿ=1 nx=θ+2kπ k∈ℤ x=^θ+2kπ⁄_n k∈ℤ x=^θ⁄_n+2π c x=^θ⁄_n

Teoremi

Irrazionalità di √2

Hp x²=2   th x∉ℚ => x∈ℝ MCD(P,q)=1 absurdo:

Suppliamo che x∈ℚ => x=p/q, p∧q∈ℤ, q ≠ 0. e che MCD(p,q)=1=> p²/q²=2 => p²=2q² => dp² è pari => p² è pari => p è pari => p=2s => 2q²=s² => 2q²=s² => dq² è pari => q è pari=> MCD(p,q)≠1 => assurdo MCD(p,q)=2

Formule di De Moivre

Hp z, ω ∈ ℂ   th zω = pω (cos(θ₁+θ₂) + isin(θ₁+θ₂))

Diciamo z, ω ∈ ℂ, z = p(cosθ₁, isinθ₁) ω = r(cosθ₂ + isinθ₂)

zω = pr(cosθ₁cosθ₂ - sinθ₁sinθ₂ + icosθ₂isinθ₂ - sinθ₁cosθ₂) =    pr (cos(θ₁ + θ₂) + isin(θ₁ + θ₂))   cos(x+β) = cosxcosβ - sinxsinβ   sin(x+β) = sinxcosβ + cosxsinx

Radici n-ime di un numero complesso

Sia z∈ℂ\{0}, n∈ℕ, n>1

Allora esistono 7 n numeri complessi ω_k∈ℂ, k=0,1,...,n-1 tc ω_kⁿ = z

Vale che ∀z = ρ(cos x + isin x) ω = √ⁿ(ρ)(cos(x+2k_π) + isin(x+2k_π)) ω = √ⁿ(ρ)(cos(x+2k_π) + isin(x+2k_π))

Diciamo ω₁, z∈ℂ z ≠ 0 zie ω_k = ρ(cosx+isinx), ω_k è radici n-mime di z (=>)ω_k=z ⟹ ρⁿ(cos(nx) + isin(nx))ρ(cos(x+2k_π) +ρⁿ=z ρ=√_n(ρ)ρ(z+2k_π)x_π=zx = x + 2k_π k∈ℤ⟹ θ=θ/nx = θ/n + 2π-= x/n = θ/π => k =>

Definizioni

Successione convergente

{a_n}_n∈ℕ → e, n →+∞, e∈ℝ⇔ ∀ε>0 ∃N∈ℕ : |a_n-e|<ε ∀n>N

Successione divergente

{a_n}_n∈ℕ →+∞, n →+∞⇔ ∀M>0 ∃n∈ℕ: a_n>M ∀n>N

Def sequenziale di limite

lim_x→cf(x)=e, c,e∈ℝ⇔ ∀{x_n}_n∈ℕ→c n →+∞ x_n≠c⇒ {f(x)}→e n →+∞

Def topologica / per intorni di limite

lim_x→cf(x)=e ⇔∀V^e intorno di e, V^c intorno di c∃U c intorno di c∋ ∀x∈Oc\{c}⇒ f(x)∈V^e

Lim punto di punto

lim_x→cf(x)=e c,e∈ℝ⇔ ∀ε>0 ∃δ>0: ∀x∈(c-δ, c+δ), x≠c ⇒ |f(x)-e|<ε

Lim infinito con il punto

lim_x→cf(x)=e c,e∈ℝ⇔ ∀M>0 ∃H>0 : ∀x>M ⇒ f(x)>H

Unicità del limite

Se lim a_n = l allora l è unico

dim per assurdo e l₂ è unico l₁ ≠ l₂ ∀ε > 0 ∃N₁∈ℕ : |a_n - l₁| < ε ∀n > N₁ con N₂ > N₁ ∀ε > 0 ∃N₂∈ℕ : |a_n - l₂| < ε