Analisi funzionale - Riassunto

Ripasso definizione

X insieme. Si dice spazio sul campo R(X, +) è gruppo se viene dotato di un'operazione esterna prodotto rispetto a: a(b+c) = ab + ac (a+b)c = ac + bc 1 ∗ a = a d: X × X → R₊.

Metrica e norma

Si dice metrica:

• D(x, x) = 0 ⇒ x = 0.
• D(x, y) = d(y, x).
• D(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

N1: ‖ x ‖ =0 ⇒ x = 0 N2: ‖ λx ‖ = |λ| ‖ x ‖ N3: ‖ x+y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ (N2+N3) = segunoria.

La norma è Lip con costante (Cds, 3k > 0): ‖ f(x) - f(y) ‖ ≤ k ‖ x-y ‖ Lipschitziana → continuità. Allora ‖ f ‖ è continua rispetto alla topologia che induce: X × X → R.

Si dice prodotto scalare (form binare) s1: = + s2: = s3: αα = α + β.

(X, d, -) si dice spazio prehilbertiano (X, ‖ . ‖) si dice spazio normato (X, d) si dice spazio emmetrico.

{xm}⊆X si dice il succ.di Cauchy lim k,m→∞ ‖ xm - xk ‖ = 0 X so nonutato sarah {xm}⊆X si dice il succ di Cauchy convenga a x∈X lim |xm-x| = 0.

Spazio di Hilbert se (X, d) è completo almeno le succ.di Cauchy sono tutte e sole carte convergenti (X, ‖ . ‖) si dice spazio o Banchi (X, d) è completo.

Ripasso def

X insieme X si dice spazio sul campo ℝ d : X x X → ℝ₊ si dice metrica.

• D(x,x) = 0 ⇔ x = 0.
• D(x,y) = d(y,x).
• D(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y).

La norma è Lipschitziana con costante ∀x,y ||f(x) - f(y)|| ≤ k ||x - y||. Lipschitziana → Continua. Allora || || è continua rispetto alla topologia che induce X x X → ℝ.

Si dice prodotto scalare ∀x,y₁,x₂ ⟨x,y₁ + x₂⟩ = ⟨x,y₁⟩ + ⟨x,y₂⟩ ∀α,y ⟨αx,y⟩ = α⟨x,y⟩.

(X, || ||) si dice spazio normato (X, d) si dice spazio metrico (x^m) C X si dice successione di Cauchy → lim_k,m→∞ r_m, r_k = 0.

(X, ⟨ , ⟩) si dice spazio di Hilbert → (X, d) è completo allora le successioni di Cauchy sono tutte e sole quelle convergenti.

Proposizioni e teoremi

Prop 1 (per dimostrare in Rⁿ) X sp. prehilbertiano → ∀ x,y ∈ X ≤ ||x|| ||y||.

Teorema della norma 1 X sp. prehilbertiano → ∃ x ∈ X S_×={x ∈ X | ||x||=1} Se x=0 allora α Se x≠0 allora ||x|| ⇒ ||x||= 1/||x|| sup ID X sp. prehilb. x ∈ X, y ∈ X X 1 y ↔ =0.

Teorema di Pitagora 2 X sp. prehilb. x ∈ X, y ∈ X x,y ⇒ |x+y|²=|x|²+|y|² 1 |x+y"|"²= x=|x||y|²= |x|²+2+|y|²=|x|²+|y|² v.

Identità del parallelogramma X sp. prehilb. ∀ a,y ∈ X ||x+y|²+|x-y|²=2|x|²+2|y|².

Teorema di von Neumann 3 Una norma è Hilbertiano.

Esempio R è lo. v. banach su R \=x y elenoto in R x→|x| R normato ⇒ R di Banach.

Tutte le norme N/R sono equivalenti.

Spazi Lp

Def Ω=(Ω,m,m) spazio di misura, m(Ω)>0.

L^p(Ω)={ f= {m(Ω)|<∫_Ω |f|^pdm |<∞ } 1<p<∞.

L^∞(Ω)={ f= {m(Ω)|∃ M > 0 : m{ x ∃ Ω | f(x) > M } = 0 } ∫_Ω |f|^p dm )^1/p 1≤p<∞.

(L^p(Ω),‖.‖_p) sono spazi vettoriali. Se 1<p<∞ ‖f+g‖_p≤ ‖f‖_p + ‖g‖_p. Se p=∞ |f| ≤ |g| ∴ a.e.w ∈Ω.

(L^p(Ω),‖.‖_p) con 1≤p<∞ ∃ spazio di Banach.

Disuguaglianza di Hölder

Disuguaglianza di Hölder. Per 1<p<∞ p' è il coniugato di Hölder (=> 1/p + 1/p' = 1) f∈L^p(Ω) g∈L^p'(Ω) => fg∈L¹(Ω) e ‖fg‖₁≤ ‖f‖_p ‖g‖_p'.

Solo (L²(Ω), ‖.‖₂) è spazio di Hilbert rispetto al prodotto scalare ${x,y}_{2}=∫ x(y)m dm.

Esempi

Esempi (Ω, m, μ) = (N, ℘(N), μ^*) L^p(N) = ℝ^N = {x = (x_k)_{k ≥ 1} : Σ |x_k|^p < ∞} |x|_lp = (Σ |x_k|^p)^1/p 1 ≤ p < ∞ Spazio di Banach.

L^∞(N) = ℝ^∞ = {x = (x_k)_{k ≥ 1} : sup |x_k| < ∞} |x|_l∞ = sup |x_k| Spazio di Banach.

Se 1 ≤ p < ∞ (l^p, ||.||_p) è separabile (vedi dopo). Se p = ∞ (ℝ^∞, ||.||_l∞) non è separabile.

(Ω, m, μ) = {ξ₁, ξ₂, ...} ⊂ {ξ₁, ..., ξ_N} μ_j = μ^* L^p(Ω) = ℝ^N = {x = (x₁, ..., x_N) Σ |x_k|^p < ∞} |x|_lp = (Σ |x_k|^p)^1/p 1 ≤ p < ∞ |x|_l∞ = sup |x_k| = max |x_k| In ogni caso è spazio di Banach separabile.

Inclusioni e spazi compatti

Spazio (Ω, m, μ) : μ(Ω) < ∞ 1 ≤ p < q ≤ ∞ f ∈ L^q(Ω) ⇒ f ∈ L^p(Ω) cioè L^q(Ω) ⊆ L^p(Ω).

Non (||f||_q ≤ ||f||_p μ(Ω)^{p/q - 1/p} 1/|1/p - 1/q|) 1 ≤ p < q ∀α ∈ ℓ^p ⇒ α ∈ ℓ^q è nulla ≤ l(α).

Def μ si dice (Ω, B(Ω), μ) μ si dice (Ω) (μ, Ω compatto) K sp. vett. compatto con misura di Radon C(K) sotto insieme funzioni continue.

C(K) = {f : K → ℝ : max |f(x)| < ∞} ≠ L^∞(K) or. Weissmass.

Se K = K ̄ (K) è so Banach non separabile. Se K = (K_d) kermelo compatto ⇒ C(K) sp Banach separabile.

Teorema di densità

Teorema di densità p ∈ [1, ∞] p=∞ non vale! Dunque, ci accontentiamo: Ω compatto e irrazionale.

Esempio su norme equivalenti

Esempio Aggiunto visto che in R tutte le norme sono equivalenti, cosa succede in R^N con N ≥ Z P_E=(1,0,...,0) R_Z=(0,1,0,...,0) P_E+2_Z ‖(1,+2|0,+1,0,...)‖_p=2^1/p ‖x+y‖₂=‖x-y‖₂=2 ‖2‖₁ 2^1/2=2²=4 P=2.

Dunque solo per p=2 la norma è l'ipotenusa. Per L^p(R^N) non sappiamo nulla su una possibile importanza.

Inclusione di interpolazione

Inclusione di interpolazione 1=>(p₁ ≤ p₂ ∫f ∈ L^P₁(Ω) ∩ U^P₂ ∃(E_k)_{k ∈ M}: ∀E_k=M(E, M) separabile ⇔ ∃X_k∈ E Ω separabile ⇒ U^P₂(Ω) è separabile con 1≤p R che verifica (d1)(d2)(d3).

Metrica indotta da una norma

Una vetrica è indotta da una norma P.D.C. (controesempio) E spazio vett. su R lemma su Ede normabile ⇐ a) Invarianza per trasporto. d(x+y, z+y)=d(x, z)  ∀ y, z ∈ E b) Positiva decrescente a grado 1 d(x/y) ⇔ ||d(x/y)||  ∀ x, y ∈ E.

Sotto queste circostanze la norma è ||x||=d(x, o) ∀x, y, z ∈ E d(x+y, z+y)=_def1x+y−(z+y)||=||x-z||=d(x, z) √ d(x, 0)=|x−0|=|x| √.

O.O. || ||:E → ℝ₊  è una norma su E 1x1=0 → d(x, 0)=0 ⇔ x=0 √ 1x1 ||x||=d(x, 0)=d(x, 0)√ 1x +y||=d(x+y, 0)_a /* d(x+y, 0)_a /*d(x, 0)-y_b /*d(x, 0)+1*d(y, 0)==1x||+d(y, 0)=||x||+1|y|| √ 07ø.

Conclusioni su inclusioni e spazi

Le inclusioni sono Proprie L^p(Ω) con p+2 di Banach o di Banach. Un Non ¬ Hilbert.

S={x_k=(x_k,k)^-1ƒ  è il metrica non normato osb   x= _{| alpha} x_{α, x2 ...} x+y=(x_{1+y1, x2+y2 ...} S è spazio vettoriale su ℝ v.