Analisi funzionale

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Author: el_ces_94

Revisionato il 23/07/2026

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Spazi di Hilbert: generalità e dualità. Spazi normati e spazi di Banach: il Teorema di Hahn Banach e sue applicazioni. Spazi riflessivi; Teorema dell'Uniforme Limitatezza e sue …

Esame Analisi funzionale

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Pucci Patrizia

Università Università degli Studi di Perugia

A.A. 2016-2017

140 pagine

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Def esp. let. su _R p∈^*RPSI

Dice funzionale verifica le seguenti proprietà:

P1) ∀ X≥0 X∈E p(λx) = λp(x) positiva omogeneità
P2) ∀ x y∈E p(x+y) ≤ p(x) + p(y) subadditività

Esempio 1

1) 1,1 Una norma è un funzionale sublineare (ne' 1) P1 omogeneità')

1) 1,1 Il seminorma è un funzionale sublineare (ne' 1) P1 omogeneità')

Def esp. vet. su _R g∈^*RG

Si dice funzionale ∀ x y∈E ∀ λµ∈^*R g(λx + y) = λg(x) + µg(y), lineare, cioè lascia le somme e operazioni su E.G è lineare → il suo dominio è sommanza.

Def esp. vet. su _R G∈^*ECG

Si dice separ. ∀ x y ∈ G ∀ λ∀ µ∈^*R λx + µ y ∈ G cioè chiuso riesordia nel senso di chiuso

Teorema di Hahn-Banach 1

Esp vet su _R, G som. se DIEp∈^*R funzionale sublineare g: G→_R funzionale lineare T.C. g(x) ≥ p(x) ∀ x ∈ G

g = proiezione w realistico congen.

DIMS^a = {h₁ D_g x₂^R / lineare GC D_g t C E_x h₁ = g eh(x) ≤ p(x) ∀ x ∈ D^g} E BAN definito

g∉o→ 0

Definisco il semigruppo baricro o stallico

Vh₁ ≤ h₂ (⇒) D_a t D_i2 e h₂ ^/h₂'/h₁ =⇒ (D, ≤) ^/ è ^g subdominato ^{/(non \\\ confermato che alcunimi sono nulli)} aut DD que _CATHERIN in 0 avvestte LARA...

S^a Q={h₁, g}∀ Ψ ∈, CATHENA (= FICHERIA TIMM’ CONTRAMA DI FUNZIONAN)∀ I, J ∈ CATH hⁱⁱ e h^j sono aut nominali ↔ hⁱ - h^j

Def _{esp. vet. su R} p ∈ ℝp.si.

Olicfunzione verifia le seguenti proprietà: sublinare

P1) ∀λ > 0 ∀x ∈ ℝ p(λx) = λp(x) positiva omogeneità
P2) ∀x,y ∈ ℝ p(x+y) ≤ p(x) + p(y) subadditività

Esempio 1

U. l.lin. una norma è un funzione sublinare (nt si P1 omogeneità)

l.11 ul.s.lin. di un funzione sublinare (nt si P1 omogeneità)

Def _{esp. vet. su ℝ} g ∈ ℝ g.si.

Olicfunzione ∀x,y ∈ ℝ ∀μ ∈ ℝ g(λx+y) = λg(x)+μg(y) linare cioè lissima le operazioni su ℝg é un l.lin. = il suo dominio è sottospazio

Def _{esp. vet. su R} G ∈ ℝ G.si.

Olic sonoeso ∀x,y ∈ G ∀λ,μ ∈ ℝ λx+μy ∈ G cioè cullio insierio l.lin. contrasto

Teorema di Hahn-Banach

Es.p. vet. su R, G sonoeso p.si. olic

p: ℝ → funzionale sublinare

g: G → ℝ funzionale olic t.c. g(x) ≤ p(x) ∀ x ∈ G

G = baddoelet w chiesa sulla cop.

DHWSA = {h₁. D_a → ℝ | funzione GC, D_a ∈ E, h₁ = g eh(x) ≤ p(x) ∀ x ∈ D_a} e buona definite

g ∈ D → ⌀

Definisco il seguente parassolo d. singolare ≤ w

h₁ ≤ h₂ ⇒ D_a = D_a₂ e h

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