Analisi funzionale applicata

Spazi di Sobolev

Esempio

Esempio - Δu = f(x)(0) in Ω ⊆ R^N u=0 in ∂Ω Sia Ω aperto illimitato

• Si dice equazione di Poisson e deriva dal problema fisico del potenziale gravitazionale
• u → potenziale gravitazionale
• f → densità di massa
• Abbiamo il risultato: f ∈ C0,α(Ω) ⇒ ∃! soluzione u ∈ C^2,α(Ω) (continua, α-holderiana) (no u`) Ma nelle applicazioni f non è continua ad esempio, pensando alla terra f = f(p) con p = distanza dal centro della terra

L'idea è di approssimare f con (f_m)_m∈N: f_m → f dal risultato Cà ogni f_m muove una soluzione u_m dal risultato che abbiamo Ma u_m → u, u come vive? Questo è il motivo per cui si introducono gli spazi di Sobolev

Esempio 1

Ω ⊆ R^N aperto N ≥ 1 C^^∞_c(Ω) = {u ∈ C^^∞(Ω) : supp u &cc; Ω}, cioè u ∈ C_c¹(Ω) → ƒ_∂αi dx = 0 ∀ i=1..N Dii N=1 ƒ(u' u) dx=ƒ u dx sup u=[a,b] ⊆ Ω ƒ(u' u) dx = u(b) - u(a) = 0 - 0 = 0 ✓

N≥1 A meno di ordinale ie variabili così òè i° coincide estendibile con continuità u ∈ W^RN ƒ ∋ (ii)⊕ ∫∪ ∥ dx = ∑∥ t₀∩∪(ii) ƒ dx_N = 0 ƒ ∪∩ or Š -Gli int. o versagliesi Scropaggono nelle N variabili Ok!

Spazi di Sobolev

Esercizio

_{(*'): -Nu=f(x)(w) w ⊆ R^N} u=0 w ∂Ω⁽¹⁾

• Si dice equazione di Poisson e deriva dal problema fisico del potenziale gravitazionale
• u -> potenziale gravitazionale
• f -> densità di massa
• Abbiamo il risultato: f ∈ C^∞_c(Ω) => ∃! soluzione u ∈ C^2,α(Ω) (continua, α-holderiana) (no u|_∂Ω) Ma nelle applicazioni f non è continua ad esempio, pensando alla terra f = f(P) con P: Distanza dal centro della terra ^R_P^r

L'idea è approssimare f con (f_m)_m∈N Ma u_m -> u, in che vie? Questo è il motivo per cui si introducono gli spazi di Sobolev

Esercizio 1

Ω ⊆ R^N aperto N ≥ 1 k C_c^∞(Ω): {u ∈ C^∞_c(Ω): supp u ⊂⊂ Ω} u ∈ C¹_c(Ω) => ∫_Ω ∂x_i = 0 ∀ i=1..N

N=1 ∫_Ω u'(x)¹ dx Supp u=[a,b] ⊂ Ω ∫_a^b u'(x) dx = u(b) - u(a) = 0 - 0 = 0 ✓

N ≥ 1 A meno di riordinare le variabili così ordinato i=1 incluse estendendo con continuità u ℝ^N ∫_Ω ∂x_i ∫_R ... ∫_R ∂x_i dx_i dx_N = 0 Gli int. di Lebesgue si scorporano nelle N variabili Ok!

Oss

u ∈ C_c¹(Ω) ⇒ ϕu∈C_c¹(Ω) ⇒ ∫_Ω ∂_j(ϕu) dx = 0 ϕ ∈ C_c¹(Ω) ∫_Ωu ∂_jϕ + ϕ ∂_ju dx ⇒ ∫_Ωu ∂_jϕ dx = - ∫_Ω ϕ ∂_ju dx u ∈ C_c¹(Ω) ϕ ∈ C_c¹(Ω) funzione test formula di integrazione per parti

Def

u ∈ L¹_loc(Ω) ⇒ u : Ω → ℝ meas. |u|_K N = ∂u/∂x_i in senso debole ⇔ ∫_Ω ϕuN dx = - ∫_Ω u ∂_jϕ dx ∀ϕ ∈ C_c0(Ω)

Nota: Si usa lo stesso simbolo ∂i per le derivate classiche e quelle in senso debole ∂_j

Esercizio 2

g : L¹ loc e g ∈ AC ⇒ g ∈ L ⇔ g ∈ BV ⇔ ∃ g'_a g'_b ∫_a^bg'_b = g(b) - g(a)

Qui u ∈ AC[a,b] ⇒ ϕ ∈ C_c¹(a,b) uϕ ∈ AC[a,b] u' è la derivata assoluta ϕ ∈ C_c¹(a,b) ⇒ ϕu ∈ AC[a,b] u ∈ AC[a,b] ⇒ uϕ ∈ AC[a,b]

Infatti, (uϕ)' = u'ϕ + uϕ' e vale la formula fino ad alcuno intervallo ∫_a^b(uϕ)' = (uϕ)(b) - (uϕ)(a) = 0 ⇒ ∫_a^b u'ϕ = - ∫_a^b uϕ' Ok

Esercizio 3

Qui

Unicità della derivata debole, darà l'esistenza # ∃ N₁, N₂ derivate deboli di u, u ∈ L¹_loc(Ω) ⇒ ∫_Ω N₁ϕ = -