Analisi matematica e geometria 1

Concetti di insiemi e operazioni

Concetto di insieme

Il concetto di insieme è un concetto primitivo, che intuitivamente rappresenta una collezione di oggetti.

Sottoinsiemi

A è un sottoinsieme di B se ogni elemento di A appartiene a B.

Dati gli insiemi A={1, 3, a, f}, B={3, f}, si osserva che ogni elemento di A appartiene a B. Pertanto, B è un sottoinsieme proprio di A.

Insiemi uguali

Sia A l'insieme delle prime cinque lettere dell'alfabeto latino, e B={a, b, c, d, e}. Si ha che A e B sono uguali.

Operazioni tra insiemi

• Dati gli insiemi A={b, h, r, w, z}, B={a, b, e, r}, l'insieme unione è: {b, h, r, w, z, a, e}.
• Dati gli insiemi X={1, 2}, Y={5, 7}, l'insieme unione è: {1, 2, 5, 7}.
• Dati gli insiemi A={b, h, r, w, z}, B={a, b, e, r}, l'insieme intersezione è: {b, r}.
• Dati gli insiemi X={1, 2}, Y={5, 7}, l'insieme intersezione è: l'insieme vuoto.

Prodotto cartesiano

• Dati gli insiemi X={1, a}, Y={2, b}, il prodotto cartesiano è l'insieme: {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b)}.
• Dati gli insiemi X={1, a}, Y={1, 2, 5, b, p}, il prodotto cartesiano ha 10 elementi.

Funzioni

Dati due insiemi A, B, una funzione è una legge che a ogni elemento di A associa uno (e un solo) elemento di B.

Data una funzione f dall'insieme A all'insieme B, l'insieme immagine è l'insieme degli elementi di B che corrispondono, tramite f, a un elemento di A.

Funzioni iniettive

Una funzione si dice "iniettiva" se a elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti dell'insieme di arrivo.

Operazioni tra numeri

• Nell'insieme N dei numeri naturali, dati due elementi a, b, non sempre è definita la differenza a-b.
• Nell'insieme Z dei numeri interi relativi, dati due elementi a, b, è sempre definita la differenza a-b.
• La divisione tra due numeri razionali è definita se il divisore è diverso da zero.

Sottoinsiemi di numeri

Dati gli insiemi Z (interi relativi) e Q (razionali), Z si può pensare come sottoinsieme di Q.

Esempi di funzioni

• Data la funzione f (da Z a Z) che a ogni numero associa il suo quadrato, si ha: f(-3)=9.
• Data la funzione f (da Q a Q) definita dalla legge f(x)=x/2, si ha: f(1/5)=1/10.
• La funzione "successivo", da N a N, definita dalla legge f(n)=n+1 è una funzione iniettiva, dato che numeri diversi hanno successivi diversi.

Proprietà dei numeri

• Dato un numero razionale positivo, esiste sempre un numero reale (positivo) che ne rappresenta la radice quadrata.
• La radice di 2 è un numero irrazionale.
• Dati gli insiemi Q (numeri razionali) e R (numeri reali), Q si può pensare come sottoinsieme di R.

Espressioni e operazioni algebraiche

• L'espressione a(b+c) è uguale a: ab+ac.
• L'opposto di 10 è: -10.
• L'inverso di 10 è: 1/10.
• 3 elevato a 2 è uguale a: 9.
• La radice quadrata di 9 è: 3.
• 3 elevato a 0 è uguale a: 1.

Logaritmi

• Il logaritmo in base 2 di 4 è: 2.
• Il logaritmo in base 2 di 8 è: 3.
• Il logaritmo in base 2 di 1 è: 0.
• Il logaritmo in base 2 di 2 è: 1.

Intervalli e valore assoluto

• Dati i numeri -10 e 2, si ha: -10 è minore di 2.
• Dato l'intervallo aperto (-10, 2), si ha: -10 non appartiene all'intervallo, -4 appartiene all'intervallo.
• Dato l'intervallo chiuso [-10, 2], si ha: -10 e -4 appartengono all'intervallo.
• Il valore assoluto di 3 è: 3.
• Il valore assoluto di -8 è: 8.
• Il valore assoluto di 0 è: 0.

Massimo Comune Divisore (MCD)

• Dati due numeri naturali m, n diversi da zero, il MCD è il più grande numero naturale che divide entrambi.
• Due numeri si dicono "primi tra loro" se il loro MCD è 1.
• Il MCD tra 10 e 5 è: 5.
• Il MCD tra 10 e 8 è: 2.

Minimo Comune Multiplo (mcm)

• Dati due numeri naturali m, n diversi da zero, il mcm è il più piccolo numero naturale (diverso da zero) che è multiplo di entrambi.
• Dati due numeri naturali m, n diversi da zero, il prodotto mn è uguale al prodotto tra MCD e mcm.
• Il mcm tra 15 e 1 è: 15.
• Il mcm tra 10 e 5 è: 10.

Frazioni

Una frazione è ridotta ai minimi termini se numeratore e denominatore sono primi tra loro.

La frazione 5/10 ridotta ai minimi termini è: ½.

Espressioni algebriche

• Il quadrato di (a+b) è uguale a: a²+b²+2ab.
• La quantità a²+b²+2ab è uguale: al quadrato di (a+b).
• Il cubo di (a+b) è uguale a: a³+b³+3(a²)b+3a(b²).
• La quantità a³+b³+3(a²)b+3a(b²) è uguale: al cubo di (a+b).
• Il quadrato di (a+b+c) è uguale a: a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc.
• La quantità a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc è uguale: al quadrato di (a+b+c).
• La differenza tra il quadrato di a e il quadrato di b è uguale a: (a+b)(a-b).
• La quantità (a+b)(a-b) è uguale a: a²-b².
• La somma tra il cubo di a e il cubo di b è uguale a: (a+b)(a²-ab+b²).
• La quantità (a+b)(a²-ab+b²) è uguale a: a³+b³.

Equazioni

• L'equazione ax+b=0, nel caso che a è diverso da zero e b è diverso da zero, ha soluzione -(b/a).
• L'equazione ax+b=0, nel caso che a è uguale a zero e b è diverso da zero, non ha soluzioni.
• L'equazione ax+b=0, nel caso che a e b sono entrambi uguali a zero, ha per soluzioni tutti i numeri reali.
• L'equazione x+1=0 ha soluzione: -1.
• L'equazione x-1=0 ha soluzione: 1.
• L'equazione 2x=1 ha soluzione: ½.
• L'equazione 2x=-1 ha soluzione: -(1/2).
• L'equazione 3x=0 ha soluzione: 0.
• L'equazione 2x-4=0 ha soluzione: 2.

Proporzioni e disequazioni

• Le proporzioni si possono vedere come particolari equazioni di primo grado.
• Un'equazione di secondo grado con discriminante maggiore di zero ha due soluzioni.
• Un'equazione di secondo grado con discriminante uguale a zero ha un'unica soluzione (in altri termini, due soluzioni coincidenti).
• Un'equazione di secondo grado con discriminante minore di zero non ha nessuna soluzione (come numero reale).
• L'equazione x(x-1)=0 ha soluzioni: 0, 1.
• L'equazione x(x+1)=0 ha soluzioni: 0, -1.
• L'equazione x(x-2)=0 ha soluzioni: 0, 2.
• L'equazione x(x+2)=0 ha soluzioni: 0, -2.
• L'equazione x²+3x+1=0 ha discriminante: 5.
• L'equazione x²+2x+1=0 ha discriminante: 0.

Teoremi e proprietà geometriche

In un triangolo rettangolo, la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa.

Polinomi

• 2x²+1 è un polinomio di grado: 2.
• -2x⁴+x è un polinomio di grado: 4.

Operazioni con monomi e polinomi

• La somma (x+1)+(x+4) è uguale a: 2x+5.
• La somma (x²+x)+(x+1) è uguale a: x²+2x+1.
• Il prodotto x(x+1) è uguale a: x²+x.
• Il prodotto x(x²-x) è uguale a: x³-x².
• La somma (xy+x)+(xy+3) è uguale a: 2xy+x+3.
• Il prodotto x(x+y) è uguale a: x²+xy.

Equazioni fratte

• L'equazione fratta x/(x+1)=0 ha soluzione: 0.
• L'equazione fratta (x-3)/x=0 ha soluzione: 3.

Disequazioni

• Se si dividono entrambi i membri di una disequazione per un numero positivo, si ottiene una disequazione equivalente.
• Se si dividono entrambi i membri di una disequazione per un numero negativo, cambiando di segno, si ottiene una disequazione equivalente.
• La disequazione x+2>0 è verificata per: x>-2.
• La disequazione x+7>0 è verificata per: x>-7.
• La disequazione 2x>1 è verificata per: x>1/2.
• La disequazione -2x>1 è verificata per: x<-1/2.
• La disequazione 5x>2 è verificata per: x>2/5.
• La disequazione -5x>2 è verificata per: x<-2/5.
• I numeri la cui metà è maggiore di 1 sono: maggiori di 2.
• La disequazione x > 0 è verificata: per ogni x diverso da zero.
• La disequazione x²+1 > 0 è verificata: da qualsiasi numero reale x.
• La disequazione -x < 0 è verificata: per ogni x diverso da zero.
• La disequazione x²+2 > 0 è verificata: da qualsiasi numero reale x.

Polinomi di secondo grado e discriminante

• Un polinomio di secondo grado ax²+bx+c, se il discriminante è maggiore di zero, nei punti esterni all'intervallo delle soluzioni dell'equazione associata, ha lo stesso segno di a.
• Un polinomio di secondo grado ax²+bx+c, se il discriminante è minore di zero, il polinomio, per ogni valore di x, ha lo stesso segno di a.
• Un polinomio di secondo grado ax²+bx+c, se il discriminante è uguale a zero, per x diverso dalla soluzione dell'equazione associata, ha lo stesso segno di a.

Disequazioni quadratiche e sistemi di disequazioni

• La disequazione x²+x+1 < 0 non ha soluzioni (in altri termini, l'insieme delle soluzioni è vuoto).
• Il sistema delle disequazioni x>0 e x+1>0 ha come soluzioni i numeri maggiori di 0.
• Il sistema delle disequazioni x>0 e x+1<0 non ha soluzioni.
• Il sistema delle disequazioni x<0 e x+1>0 ha come soluzioni i numeri reali maggiori di -1 e minori di 0.
• Il sistema delle disequazioni x<0 e x+1<0 ha come soluzioni i numeri minori di -1.

Disequazioni fratte

• Una disequazione fratta di tipo (P/Q)>0 è verificata per P e Q entrambi positivi o entrambi negativi.
• Una disequazione fratta di tipo (P/Q)<0 è verificata per P e Q uno positivo e uno negativo.
• La disequazione fratta 1/x>0 ha come soluzioni le x maggiori di zero.
• La disequazione fratta 1/(-x)>0 ha come soluzioni le x minori di zero.
• La disequazione fratta 1/x<0 ha come soluzioni le x minori di zero.
• La disequazione fratta 1/(-x)<0 ha come soluzioni le x maggiori di zero.

Geometria analitica

• I punti del piano cartesiano sono rappresentati da due coordinate.
• La distanza tra due punti A e B rappresenta la lunghezza del segmento di estremi A e B.
• La distanza tra i punti (0,0) e (0,1) è: 1.
• La distanza tra i punti (0,0) e (1,1) è: radice di 2.
• x=3 è l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate.
• y=-1 è l'equazione di una retta parallela all'asse delle ascisse.
• y=5x è l'equazione di una retta passante per (0,0).
• y=2x-10 è l'equazione di una retta di coefficiente angolare 2.
• Due rette con lo stesso coefficiente angolare sono parallele.
• Le rette y=x e y=2x si incontrano in (0,0).
• La distanza di un punto della circonferenza dal centro è uguale al raggio.
• Alla circonferenza x²+y²-1=0 appartiene il punto: (1,0).