Analisi (Calcolo II)

Calcolo IIFabiola2

Indice

• Equazioni differenziali 5
• 1.1 Equazioni del primo ordine 5
• 1.2 Teorema di esistenza e unicità 7
• 1.2.1 Esistenza 8
• 1.2.2 Unicità 11
• 1.3 Prolungamento delle soluzioni 13
• 1.4 Teorema di escursione dai compatti 14
• 1.5 Sistemi differenziali lineari 17
• 1.5.1 Sistemi differenziali lineari omogenei a coefficienti costanti 19
• 1.6 Equazioni differenziali lineari 22
• 1.6.1 Equazioni differenziali lineari di ordine n 22
• 1.6.2 Equazioni lineari omogenee 23
• 1.6.3 L'algebra degli operatori a coefficienti costanti 25
• 1.6.4 Equazioni lineari non omogenee 28
• 1.7 Sistemi autonomi. Stabilità 35
• 1.7.1 Generalità sui sistemi autonomi 35
• 1.8 Sistemi bidimensionali 37
• 1.8.1 Il concetto di stabilità 37
• 1.8.2 Stabilità dell'origine per sistemi lineari autonomi: il caso bidimensionale. 38
• 1.9 Il metodo di Lyapunov 39
• 1.10 Il metodo della linearizzazione 42
• 1.11 Flusso; insiemi -limite e -limite 43 ω α
• 2 Integrazione multipla 49
• 2.1 Integrale multiplo secondo Riemann 50
• 3 Integrazione secondo Lebesgue 53
• 3.1 Funzioni semicontinue 53
• 3.1.1 Il teorema di Weierstrass 55
• 3.1.2 Approssimazione delle funzioni semicontinue 55
• 3.1.3 Teorema del Dini 56
• 3.2 Integrazione di Lebesgue 57
• 3.2.1 Successioni monotone 61
• 3.2.2 Teoremi di passaggio al limite 63
• 3.3 La misura degli insiemi 65
• 3.3.1 Insiemi di misura nulla 66
• 34 Indice
• 4 Serie di Fourier 69
• 4.1 Funzioni periodiche 69
• 4.1.1 Convergenza della serie di Fourier 74
• 4.1.2 Funzioni di periodo T 76
• 4.1.3 Serie di Fourier complessa 77
• 4.2 La trasformata di Fourier. 77
• 4.2.1 Proprietà algebriche 79
• 4.2.2 Proprietà differenziale 79
• 4.2.3 Proprietà di derivabilità 79
• A Il criterio di Bendixson 81

Capitolo 1

Equazioni differenziali

Equazione differenziale Si chiama (di ordine n) un'equazione del tipo F (t, u, u⁰, ..., uⁿ) = 0 che lega tra loro la variabile indipendente t, la funzione incognita u e le sue derivate fino all'ordine n.

Si dice che la funzione u(t) è soluzione dell'equazione data nell'intervallo (a, b) se essa è continua in esso assieme alle sue derivate fino all'ordine n e per ogni t ∈ (a, b) risulta F (t, u(t), u⁰(t), ..., uⁿ(t)) = 0.

Ogni sistema è equivalente ad un sistema del primo ordine, così che in linea generale ci si può limitare a questi ultimi.

Inoltre, sotto opportune ipotesi di regolarità per la funzione f, si può sempre risolvere il problema di Cauchy u⁰ = f (t, u), u(t₀) = u₀ in un intorno del punto t₀. Quando però da questo teorema generale si vuole passare alla soluzione esplicita di una data equazione differenziale, ci si accorge che questo è possibile solo in un numero limitato di casi.

1.1 Equazioni del primo ordine

Equazioni lineari

Si dice lineare un'equazione della forma u⁰ + a(t)u = b(t) con funzioni assegnate a(t), b(t) della variabile t. La soluzione generale di questa equazione è u(t) = e^−A(t) (∫ b(t)e^A(t)dt + c).

Dove A(t) è una primitiva di a(t) e c è costante arbitraria.

Equazioni a variabili separabili

Si dicono a variabili separabili le equazioni differenziali del tipo u⁰ = f (u)g(t).

Osserviamo che se α è uno zero della funzione f, la funzione costante u = α è soluzione. Se u non è costante, allora per l'unicità della soluzione non può mai assumere il valore α, e dunque si ha sempre f (u) ≠ 0. Dividendo per f (u) e integrando si ottiene una soluzione nella forma implicita Φ(u) = G(t) + λ dove Φ(u), G(t) sono primitive di 1/f (u), g(t) e λ è una costante arbitraria. Se la Φ è invertibile, si può ottenere esplicitamente la u = Φ⁻¹ (G(t) + λ).

Equazioni omogenee

Si dicono omogenee le equazioni della forma y⁰ = f (y/x). Esse si risolvono ponendo y = ux, con u nuova funzione incognita; risulta y⁰ = xu⁰ + u e dunque u⁰ = (f (u)−u)/x. Quest'ultima è a variabili separabili.

Equazioni f-lineari

Sono della forma x⁰(t) = f (αt + βx(t) + γ) con α, β, γ ∈ R, β ≠ 0. Si risolvono con la sostituzione y(t) = αt + βx(t) + γ, y⁰(t) = α + β x⁰(t) = α + βf (y(t)).

Equazioni di Manfredi

Sono equazioni della forma x⁰(t) = f ((at+bx(t)+c)/(αt+βx(t)+γ)).

Prendiamo il determinante della matrice dei coefficienti a, b, α, β;

• Det = 0 ⇒ (a, b) = λ(α, β), λ ∈ R. Quindi l'equazione diventa −x⁰(t) = f ((λαt+λβx+c)/(αt+βx+γ)) = f (λ + (c−γ)/(αt+βx+γ)), cioè una forma f-lineare.
• Det ≠ 0 ⇒ ∃(t₀, x₀) : at₀ + bx₀ + c = 0, αt₀ + βx₀ + γ = 0.

Quindi sostituendo otteniamo x⁰ = f ((a(t−t₀)+b(x−x₀))/(α(t−t₀)+β(x−x₀))), y(t) = x(t + t₀) − x₀, −y⁰(t) = x⁰(t−t₀) = f ((at+by(t))/(αt+βy(t))) che è un'equazione omogenea, che si riporta a variabili separabili con y(t) = zx.

1.2 Teorema di esistenza e unicità

Equazioni di Riccati

Siano f, g, h : I → R continue, tali che y⁰ = f (x)y² + g(x)y + h(x).

In generale non possiamo risolverle, ma se troviamo una soluzione allora possiamo trovarle tutte. La forma "originale" è y⁰ = y² + bx^α e risulta risolvibile se:

• α = −2 con −4k ≥ −1;
• α = 2k±1.

Definizione Una funzione f = f (x, t) si dice lipschitziana in D rispetto a y, uniformemente in t, se esiste L (detta costante di Lipschitz) tale che (1.1) |f (t, y) − f (t, z)| ≤ L||y − z||, per ogni (t, y), (t, z) ∈ D.

Equazione di Bernoulli

Si chiama in questo modo un'equazione differenziale del primo ordine della forma y⁰ + a(x)y = b(x)y^α dove si può supporre α diverso da 0 e 1 dato che altrimenti abbiamo a che fare con una semplice equazione lineare. Un metodo per risolvere l'equazione di Bernoulli consiste nel compiere la sostituzione y = z^1/(1−α).

Da cui y⁰ = (1/(1−α))z^α/(1−α)z⁰.

Definizione Una funzione f = f (t, y) è localmente lipschitziana rispetto a y, uniformemente in t, se ogni punto di D ha un intorno in cui vale (1.1).

Proposizione Se f e tutte le derivate ∂f/∂y_j sono continue in D, allora f è localmente lipschitziana rispetto a y, uniformemente in t.

Teorema Sia f : D → Rⁿ, D ⊂ Rⁿ⁺¹; se:

• F è continua in D;
• F è localmente lipschitziana in D rispetto a y, uniformemente in t;

allora per ogni (τ, ξ) ∈ D, esiste I_r0 = [τ−r₀, τ+r₀] in cui è definita una soluzione φ del problema di Cauchy φ⁰ = f (t, φ) (1.2), φ(τ) = ξ.

Tale soluzione è unica nel senso che ogni altra soluzione coincide con φ nell'intervallo comune di definizione.

Seguiremo questa strategia:

• Uso del lemma 1.3;
• Interpretazione dell'equazione integrale come problema di punto fisso per un particolare operatore in uno spazio metrico opportunamente definito;
• Uso del teorema di contrazione di Banach-Caccioppoli.

1.2.1 Esistenza

Lemma 1.3 Siamo nelle ipotesi del teorema. Se φ ∈ C¹(I_r0) è soluzione del problema di Cauchy (1.2), allora soddisfa la seguente equazione integrale, detta equazione di Volterra:

∀t ∈ I_r0, y(t) = ξ + ∫_τ^t f (s, φ(s))ds, (1.3)

e viceversa, se φ ∈ C(I_r0) è soluzione di (1.3), allora φ ∈ C¹(I_r0) ed è soluzione del problema di Cauchy (1.2). (P ⇔ V)_t,x

Dim. lemma Prendo φ⁰(t) = f (t, φ(t)) e la integro tra τ e t, con t ∈ I_r0.

∫_τ^t φ¹(s)ds = ∫_τ^t[f (s, φ(s)]ds, φ(t) − φ(τ) = ∫_τ^t[f (s, φ(s)]ds.

φ(t) = ξ + ∫_τ^t[f (s, φ(s)]ds (1.4).

Questa è la (1.3) per ⇒. Viceversa, sia φ soluzione di (1.4). φ ∈ C(I_r0).

φ(t) = ξ + ∫_τ^t[f (s, φ(s)]ds.

Poiché per il teorema fondamentale del calcolo integrale il membro a destra è di classe C¹(I_r0), lo è anche φ. Derivo allora la (1.4): ∀t ∈ I_r0, φ⁰(t) = f (s, φ(s)).

Sostituisco questo risultato nella (1.4): φ(t) = ξ + ∫_τ^t[f (s, φ(s)]ds = ξ + + ∫_τ^t φ¹(s)ds = ξ + φ(t) − φ(t).

Da cui φ(τ) = ξ.

• Uso il teorema fondamentale del calcolo integrale.
• Uso la condizione iniziale φ(τ) = ξ.

Quindi φ è soluzione di (1.2). ⇒ φ (V P)_t,x.

Dim. teorema In base al lemma, basta dimostrare che, scelto opportunamente r₀, (1.3) ha una sola soluzione in I_r0, con I_r0 = [τ−r₀, τ+r₀]: interpretiamo questa equazione (1.3) come punto fisso, introducendo l'operatore F[y](t) := ξ + ∫_τ^t f [s, y(s)]ds, t ∈ I_r0.

Quindi risolvere la (1.3) equivale a trovare φ ∈ C(I_r0) tale che F [φ] = φ, ovvero un punto fisso per F. Siano allora r, r₀ ∈ R⁺ tali che l'intorno cilindrico (rettangolo se n = 1) definito come Γ := {(t, y) ∈ Rⁿ⁺¹ : |t − τ| ≤ r, ||y − x|| ≤ r} ⊂ D (Q_r(t, x) := [t−r, t+r]xB_r(x), B_r(x) := {y ∈ Rⁿ : ||y − x|| ≤ r}).

Definiamo inoltre lo spazio metrico delle funzioni continue in I_r0 il cui grafico sia contenuto in Γ, cioè Y := {φ ∈ C(I_r0) : ||y − x|| ≤ r, ∀t ∈ I_r0}.

Definiamo ora M₀ := max ||f (t, y)||; si ha per ogni t ∈ I_r0: ||F [φ] − ξ|| = ||ξ + ∫_τ^t f [s, φ(s)]ds − ξ|| ≤ |∫_τ^t ||f [s, φ(s)]||ds| ≤ M₀|t − τ|.

L'ultima maggiorazione è giustificata dal fatto che [s, φ(s)] ∈ Γ e dalla definizione di M₀. Poiché poi per definizione di Γ, posso infine maggiorare con |t − τ| ≤ r₀, M₀|t − τ| ≤ M₀r₀.

Quindi segue che, se r₀ ≤ r/M₀, cioè M₀r₀ ≤ r mi ritrovo la definizione dello spazio Y; quindi F [φ] ∈ Y, per ogni t ∈ I_r0. In questo modo abbiamo dimostrato che l'equazione è ben definita.

Prendiamo ora una coppia (φ, ψ) ∈ Y. Indicando con L la costante di Lipschitz di f relativa al compatto Γ vale per ogni t ∈ I_r0:

||F [φ](t) − F [ψ](t)|| = ||∫_τ^t[f (s, φ(s)) − f (s, ψ(s))]ds|| ≤ |∫_τ^t ||f (s, φ(s)) − f (s, ψ(s))||ds|.

Posso quindi applicare la definizione di funzione lipschitziana (localmente) perché lo è per ipotesi del teorema, e così maggiorare con L∫_τ^t||φ(s) − ψ(s)||ds ≤ L|t − τ|d(φ, ψ) ≤ Lr₀d(φ, ψ).

Si ottiene che F è una contrazione costante Lr₀. Scegliendo r₀ ≤ 1/L.

In conclusione, se r₀ < min(r, r/M₀, 1/L), esiste un unico punto fisso per F in Y. Questa dimostrazione fornisce un'importante informazione sulla soluzione: essa esiste almeno in I_r0 = [τ−r₀, τ+r₀] con r₀ < min(r, r/M₀, 1/L).

Proposizione 1.4 Nelle ipotesi del teorema, la seguente successione definita per ricorrenza converge uniformemente in I_r0 alla soluzione del problema di Cauchy [1.16]: φ₀(t) = ξ (1.5), φ_n+1 = F [φ_n] = ξ + ∫_τ^t f (s, φ_n(s))ds.

Dim. proposizione Definiamo per ricorrenza la successione x₀(t) = ξ, x_n+1 = x₀ + ∫₀^t F (s, x_n(s))ds.

Resta definito r₀ := min(r, r/M₀, 1/L), con n ≥ 1, t ∈ I_r0, t ≥ τ. In un tempo valutiamo la distanza tra due elementi della successione:

||x_n+1(t)−x_n(t)|| = ||∫_τ^t[F (s, x_n(s))−F (s, x_n−1(s))]ds|| ≤ |∫_τ^t||F (s, x_n(s))−F (s, x_n−1(s))||ds|.

Definiamo M₁ := max ||∂F (t,x)/∂x||, quindi sappiamo maggiorare lo jacobiano. Allora maggioro l'ultimo integrale con M₁∫_τ^t||x_n(s)−x_n−1(s)||ds.

Per n = 1 si ha ||x₂(t) − x₁(t)|| ≤ M₁∫_τ^t||x₁(s) − x₀(s)||ds.

Per quanto dimostrato sopra, vale per ogni t ∈ [τ, τ + r₀]: ||x₁(t) − ξ|| = ||F (s, x₀(s))ds|| ≤ |∫_τ^tF (s, x₀(s))ds|| ≤ M₀|t − τ| ≤ r₀M₀.

Posso maggiorare la distanza con ||x₁(t)−x₀(t)|| ≤ M₁∫_τ^t||x₁(s)−x₀(s)||ds ≤ M₁M₀r₀|t−τ|.

Al passo successivo sarà ||x₃(t)−x₂(t)|| ≤ M₁M₀r₀∫_τ^t|s−τ|ds = M₁M₀r₀(t−τ)²/2.

Questo suggerisce di poter trovare per induzione, con n ≥ 1, per ogni t ∈ I_r0: ||x_n+1(t)−x_n(t)|| ≤ M₁ⁿM₀r₀(t−τ)ⁿ/n!.

Una contrazione o applicazione di contrazione è una funzione da uno spazio metrico in se stesso tale che la distanza tra l'immagine di due elementi qualsiasi del dominio sia inferiore alla distanza delle relative controimmagini. Sia (X, d) uno spazio metrico, si definisce contrazione una funzione f : X → X tale che esiste una costante k, 0 < k < 1 che soddisfa la seguente condizione: d(f (x), f (y)) ≤ kd(x, y), per ogni (x, y) ∈ X. Il più piccolo valore di k per cui vale tale condizione è detto costante di Lipschitz.

Prendendone l'estremo superiore, segue che ||x_n+1(t)−x_n(t)|| ≤ M₁ⁿM₀r₀ⁿ⁺¹/n!.

La serie al secondo membro converge, quindi anche la serie delle norme ∑_n=0^∞||x_n+1(t)−x_n(t)|| in I_r0 converge. Di conseguenza la serie di funzioni ∑_n=0^∞(x_n+1−x_n) converge totalmente, e quindi uniformemente, in I_r0. Poiché si tratta di una serie telescopica, la sua somma parziale è ∑_n=0^∞(x_n+1−x_n) = x_n+1−ξ.

Quindi la successione x_n(t) converge uniformemente ad una funzione x(t) in I_r0. Poiché le x_n(t) sono continue, lo è anche x(t), e poiché tutte le x_n sono comprese tra ξ−r e ξ+r, anche x sarà in questo intervallo.