Analisi 2 (teoria - esercizi)

Lo spazio vettoriale

Lo spazio vettoriale Rⁿ è uno spazio vettoriale e insieme ordinato di numeri x = (x₁, x₂), x_i ∈ R; V = t₁v₁ + … + t_nv_n.

Esempio: ordinamento in R²

Dove Rⁿ = {v₁, e₁ … v_n = v} e R v₁, ….

Operazioni su vettori in Rⁿ

Norma di vettori/punti in Rⁿ. Lo spazio vettoriale Rⁿ è uno spazio vettoriale e insieme ordinato di numeri: Rⁿ = (x₁, x₂, ..., x_n) / x_i ∈ R ∀ i = 1, 2, ..., n.

X = (x_i)ⁿ in R²: x = (x, y) y = (x, y) = x dove Rⁿ = { v, e₁, ..., e_n, v ∈ R ∀ i = 1, ..., n }.

V = ( v₁, v₂, ..., v_n ).

Esempio: operazioni

• x_t + tv te Rt = 0 -> x_t
• t = 1 -> x, y, z
• t = 2 -> x₁
• t = -1 -> x

Operazioni su vettori (punti) in Rⁿ:

• x + y = (x₁, ..., x_n) + (y₁, ..., y_n)
• Prodotto per uno scalare: 1 x = (1x₁, ..., 1x_n)
• Prodotto scalare: x ⋅ y = x₁y₁ + ... + x_ny_n
• Prodotto vettoriale: x y = (x₂y₃ − x₃y₂, x₃y₁ − x₁y₃, x₁y₂ − x₂y₁)

Norma di vettori in Rⁿ

R²: x = (x, y) -> |x| = √x⋅y*; distanza di (x, y) da (0, 0).

R³: x = (x, y, z) -> |x| = √x⋅y⋅z*.

Rⁿ: x = ₁(x₁ + x_n) -> √₁.

Distanza fra due punti in Rⁿ

• R: d(x, y); distanza fra x e y: = |x − y|
• R²: d(x, y) = |x − y|

Funzioni di più variabili reali

Funzioni di più variabili reali a valori reali: f: Ω ⊆ Rⁿ → R (frequenti usate densità, pressione...).

• Dominio: Ω (se già dato)
• Dominio naturale: insieme (sottomisure di Rⁿ) in cui le operazioni ammettono un significato

Esempio di funzione

f: Dom_f ⊆ R² → R definita da f(x, y) = log(x²-y).

Dominio: { (x, y) ⊆ R² | y > 0, x² - y > 0 }

Per rappresentare Dom_f dobbiamo risolvere giacientemente delle equazioni in variabili.

Immagine della funzione

Immagine: f:⊆ (x) ≤ Dom_f g:Ω f: { (x, f(x)) | x ≤ Dom_f} ≤ R^m.

Esempio: f(x, y) = y, g(x, y, z) = x² + y.

Osservare che f(x, y) è definito attraverso x² + y, osservare che la distanza (in Rⁿ): − (0, 0) e (x, y).

Metodo di rappresentazione alternativa

Metodo di rappresentazione alternativa: insieme di livelli Π: { (x, y) ⊆ R² | f(x, y) = k }.

Un intorno di raggio r di x ∈ B_r(x) ; {(x ⊆ R² | x - x₀ < r }.

Teorema di unicità del limite

1. (Ipotesi) Il limite di f(x) = x x⁰ l
2. (Tesi) l è unico

Teorema sull'algebra dei limiti

Il teorema è analogo a quello in R. L'enunciato del confronto vale a condizione:

• (Ipotesi) B (x), f(x) x g(x), f(x) g(x), g(x) ≠ 0, fx gx x⁰ l
• (Tesi) h(x) x⁰ l

Esistenza del limite

In R è possibile parlare di “limite destro”, “limite sinistro”, ma in R^m con lo più in R la condizione è necessaria e sufficiente (lim f_x(x), lim f_y(x)) in R, ma …continuamente.

Una restrizione lo f: A A^R R un yf(x,t)” g(x)=y lim (f(x); lg(x))” xx₁ y(t,x) y f(x), y x y₁ y y xx y g(x)=xy g(f,g) xe g x dg _lim xe y² x= x e² x y f(x,g) = xe x^y ex y=x³ x² x= x f² = y^xx³ x³ f(x).

Condizione necessaria per l'esistenza dei limiti

(Ipotesi) f(x) x⁰ l (Tesi) f(x) tende ad x⁰ in tutte le restrizioni sulle rette che passano per x.

Esempio: lim (x/y) y^x x^x x³ x/y⁴ X⁰ x¹ x⁰x y o = y l y⁰ x y x o lx o 0 = x 0, o = lim (y/x)² y 0 = o lx = y o lx = y o x = lim x² x³ x⁴ x² y f x⁰ l x = 0 x = o f più che l₂ il limite non esiste.

Criterio sufficiente per l'esistenza dei limiti

Il cambiamento delle coordinate polari centrato in x e: (x = x₁).