Vettore
Vettore segmento orientato identificato da s, d e v.
Dico che AB = CD se sono e AB = CD.
- AB e CD appartengono alle stessa retta.
- AB e CD giacciono su rette parallele.
Due vettori sono equivalenti se hanno s, d e v uguali.
Versore
Componenti unitarie 1 lungo e indica una direzione.
v ∈ v
v = v / |v|
|v| = modulo del vettore.
v può essere esampato nel piano cartesiano Oxy.
Operazioni tra vettori
Somma
- Metodo grafico: u+v regola del Parallelogramma.
- Metodo analitico: v = (u
- Proprietà:
- Commutativa: u+v= v+u.
- Associativa: u+(v+w=(u+v)+w.
- Elemento neutro: 0 = v.
- Opposto: v+(-v) = 0.
Prodotto scalare
Metodo grafico.
x=a∈a≠b∈bx∈f a vettore parallelo.
- Distributiva: a(u+v)=au+av.
- Associativa: (ab)v=(ab)v.
- Elemento neutro: 1v = v.
Vettore segmento orientato identificato da modulo, direzione e verso.
Due vettori AB e CD si dicono equivalenti se AB = CD ↔ AB e CD appartengono alla stessa retta.
AB e CD giacciono su rette parallele.
Due vettori sono uguali ↔ hanno modulo, direzione e verso uguali.
Versore
Vettore di lunghezza unitaria il cui scopo è quello di indicare una direzione.
v ∈ V
vers(v) = v / |v| → modulo del vettore.
Un vettore può essere scomposto nel piano cartesiano Oxy.
|vx| = |v| cosθ
|vy| = |v| sinθ
|v| = √(vx2 + vy2)
θ = vy/vx
Operazioni tra vettori
Somma
Metodo grafico: u ± v.
Differenza u - v.
Metodo analitico: v = (u1, u2, u3)
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)
u - v = (u1 - v1, u2 - v2, u3 - v3)
Proprietà
- Commutativa: u + v = v + u.
- Associativa: h + (v + w) = (h + v) + w.
- Elemento neutro: v + 0 = v.
- Opposto: v + (-v) = 0.
Prodotto scalare
Metodo grafico: x ≠ 0, y ≠ 0 → av vettore nullo.
Direzione di v.
Verso: se k > 0, stesso di v; se k modulo: |av| = |a| |v|.
Metodo analitico: v = (v1, v2, v3)
av = (a v1, a v2, a v3)
Proprietà
- Distributiva: a(u + v) = au + av(a + b)v = av + bv.
- Associativa: (ab)v = a(bv).
- Elemento neutro: 1Λv = v.
ℝ2
ℝ2 = {(x1, x2) | x1, x2 ∈ ℝ;}
Proprietà
- (+) : ℝ2 × ℝ2 → ℝ2 operazione interna.
- (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2).
- ((x1 + y1) + z1, (x2 + y2) + z2) = (x1 + (y1 + z1), x2 + (y2 + z2)) Prop. associativa.
- (x1, x2) + (0,0) = (x1, x2) ∀(x1, x2) ∈ ℝ2 ∃ elemento neutro (+).
- (x1, x2) + (-x1, -x2) = (0,0) ∀(x1, x2) ∈ ℝ2 elemento opposto.
(ℝ2, +) è un gruppo.
- (x1, x2) + (y1, y2) = (y1, y2) + (x1, x2) ∀(x1, x2) (y1, y2) ∈ ℝ2 Prop. commutativa.
(ℝ2, +) è un gruppo abeliano.
- ◂ : ℝ × ℝ2 → ℝ2 alica un vettore a vettore.
- λ(x1, x2) = (λx1, λx2)
- 1(x1, x2) = (x1, x2) ∀(x1, x2) ∈ ℝ2 elemento neutro (◂)(λ + μ) (x1, x2
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