Analisi 2 - Sintesi Teoria

Definizioni di spazio vettoriale

DEF.V spazio vettoriale (V, +, .) sul campo K

Norma X ∈ K* | *X_i* = ||X - X||

DEF.V₁... V_n sono combinazione lineare di V₁... V_n con coefficienti λ₁... λ_n, l'espressione y = λ₁V₁ + ... + λ_nV_n = λ_jV_j

DEF.[u₁... u_n in K*in upla jeu è lineare indipendente ⟺ ] λ_i vale su tutti=> ∑_j=1^m λ_jV_j = 0 { i ≤ i ≤ m λ ≠ 0 allora V = - μ₁χ_i -> μ_i, ... μ_n

DEF.V₁, ... , V₁ ∈ V sono linearmente indipendenti ⟺ L(λ₁V₁ + s + λ_mv_l = 0 ⟺ λ₁ = &c. = λ_m =0)

DEF.V₁-.., V_n ∈ U sono base Emse V₁, ..., V_n ∈ U* ⊂ PL e V_ν ∈ U* non è più esprimere ... U compaiono come λ₁, ...

DEF.V_i sono pol ... PL massimi ⟺ V₁, V_n che ... λ_i = 0, e=m in sotto insieme, PL

Pag.U su un K {u₁, ..., u_n e PL massimi ⟺ V* sono base coincidenti e Sub insieme fine.

Gruppo vettoriale e norma

DEF.Un gruppo vettoriale (V, +) _{nel Campo K}

Norma ||X|| = √∑_i=1ⁿX_i² * ||X_f|| = ||Y - X||

Combinazione lineare

DEF λ₁, ..., λ_n ∈ K dire combinazione lineare di V₁,..., V_n con coefficienti λ₁, ..., λ_n è l'espressione V = λ₁V₁ + ... + λ_nV_n = ∑_jλ_jV_j

DEF V₁,V_n ∈ K n-uple λ₁,..., λ_n si dice combinazione lineare di V₁,..., V_n con tutti gli λ_i si dice dipendente _lineare ⟺ ∃ λ_j ≠ 0 con ∑_j=1mλ_jV_j = 0 con j ≤ i ≤ m → λ_i ≠ 0 allora λ_iV_i = Σλ_jV_j → ⊇ λ_1,...,i,...n

Indipendenza lineare, parte libera e base

DEF V₁,..., V_n ∈ U sono liniarmente _indipendenti ⟺ ᑦ(λ_iV_i + λ_nV_n = 0 ⟺ ∀λ = 0) = λ_n = 0

DEF V₁, V_n ⊆ U si dice Parte libera ⟺ ∀ ᑦ ∃ V_1,...,n sono lin _indep

DEF V₁, V_n ⊆ U si dice _Sistema di riferimento lin _fondamentale ⟺ ∀V_∈U ∃λ_i,K∈K λ_j = Σλ_j=1nV_j

DEF V₁, ..., V_n si dice Base in V_{∋−> V1,... n è parte libera e lin sistema di generazione}

Dim Ie V₁, ..., V_n ⊆ U ⟼ ⊂ PL e V_m+1 ∈ U non si può esprimere come lin di V_{1,... m} allora anche Dim V₁ + λ₁V_m = 0 con λ₁ = λ