Analisi 2: funzioni di più variabili
Sintesi dei concetti principali
Sia definita una funzione e sia definito un punto. Per verificare se la funzione è derivabile nel punto P, occorre e basta verificare che esistano finiti.
Derivabilità e limiti
In Analisi Matematica 1, per verificare se una funzione era derivabile in un punto si ricorreva al limite rapporto incrementale.
Derivate parziali
Per calcolare la derivata parziale di una funzione di più variabili, si usano le solite regole di derivazione, applicate di volta in volta alla variabile rispetto a cui si esegue la derivata. Si osserva che in ipotesi molto generali una funzione di due variabili ha due derivate parziali prime e tre derivate parziali seconde, poiché grazie al Teorema di Schwarz le due derivate miste coincidono.
Differenziabilità
Una funzione di due variabili si dice differenziabile nel punto se e solo se...
Esempio pratico
Esempio: verificare che la funzione è differenziabile nel punto. Si ha...
Ora applichiamo la formula e verifichiamo che il limite sia nullo (l’ultimo limite si calcola passando alle coordinate polari, si ottiene che il limite è nullo). Pertanto la funzione è differenziabile nell’origine.
Concetti di teoria presi ad esercitazione di Analisi Matematica 2
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