Analisi 1 Sintesi Teoria

Definizione di insieme

DEF: Un insieme è una collezione di elementi detti:

Proprietà: I E ⊂ ⊆ ∪ ∩ / Ø

Insiemi numerici

Insiemi numerici: N Z Q R C (+) (-,+) (-,÷,+,∗) (-,√,+,∗) i 0 N 0 Z N ^m/n ^a/a

Axiomi di Peano

Axiomi di Peano: (1, N) 1 Ø 1 = a σ(a) 6 = 1 σ(a) = σ(b)(a ∈ N)

Relazione di equivalenza

• X ∼ x (riflessiva)
• X ∼ y ⇔ y ∼ x (simmetrica)
• X ∼ y ∧ y ∼ z ⇒ x ∼ z (transitiva)

Proprietà di campo

• Prop. associativa
• Prop. commutativa
• Elem. neutro
• Elem. inverso
• Prop. di annullamento
• Prop. distributiva
• Elem. reciproco
• Elem. opposto

Gruppo abeliano: gruppo + commutativo

Numeri complessi

C: z : z = a + ib, z̅ = a - ib, |z| = √² + b²

Formula di De Moivre: z = ρ(cos θ + i sin θ), z̅ = ρ(cos θ - i sin θ), 1/z = ρ^-1

De Moivre: zⁿ = µ[cos(nθ) + i sin(nθ)]

Modulo, moltiplicazione esponenti si sommano

a = ρcosβ, b = ρsinβ, θ = arctg(b/a)

C NON è un campo ordinato

Dimostrazione

Dim: Supponiamo che esista un ordine x1 > 0 ∧ 2 > 0 ⇒ 2 > 1² ∧ 0

Maggiorante

MAGGIORANTE

Dato l'insieme A ⊆ ℝ, K ∈ A (Maggiore set)

K ≥ a ∀ a ∈ A

A è LIMITATO SUPERIORMENTE se possiede almeno un Mag.

Minorante

MINORANTE

Dato l'insieme A ⊆ ℝ, K ∈ A (Minour set)

K ≤ a ∀ a ∈ A

A è LIMITATO INFERIORMENTE se possiede almeno un Min.

Un insieme è LIMITATO se è limitato sia superiormente che inferiormente.

Massimo e minimo

MASSIMO (maggiore dei maggioranti)

x₀ ∈ E ⊆ ℝ è il Massimo ↔ x₀ ≥ x ∀ x ∈ E

MINIMO (minore dei minuranti)

x₀ ∈ E ⊆ ℝ è il Minimo ↔ x₀ ≤ x ∀ x ∈ E

L'estremo e il minimo sono unici

Estremo superiore

i sup (E) = +∞ E non limitato ∀ α: E infinito

Estremo inferiore

∈ ℝ

Definizione di insieme

DEF: Un insieme è una collezione di elementi detti

Relazioni di equivalenza

• X = x (riflessiva)
• X ~ y y ~ x (simmetrica)
• X ~ y, y ~ z => x ~ z (transitiva)

Numeri complessi

C z = a + ib, z̄ = a - ib, |z| = √(x² + b²)

i = √(-1)

z = ρ (cos θ + i sin θ), z̄ = ρ (cos θ - i sin θ), |z| = ρ

De Moivre: zⁿ = ρⁿ (cos (nθ) + i sin (nθ)), Identità geometriche

• A) 3 > 2 i > 0 i ≤ 0 i ~.
• B) 2 i > 0 i ~ (-1) i ~ - (x² x ∉ ℝ

Maggiorante

MAGGIORANTE

Dati l'insieme A ⊂ ℝ, K ∈ A; K è Maggiorante (≤)

K ≥ a ∀ a ∈ A

A è LIMITATO SUPERIORMENTE se esiste almeno un Magg.

Minorante

MINORANTE

Dati l'insieme A ⊂ ℝ, K ∈ A; K è Minorante (≥)

K ≤ a ∀ a ∈ A

A è LIMITATO INFERIORMENTE se esiste almeno un Min.

Un insieme è LIMITATO se è limitato sia superiormente che inferiormente.

Massimo e minimo

MASSIMO (minimo dei maggioranti)

x₀ ∈ E ⊂ ℝ e Massimo (≤) x₀ ≥ x ∀ x ∈ E

MINIMO (minimo dei minori)

x₀ ∈ E ⊂ ℝ e Minimo (≥) x₀ ≤ x ∀ x ∈ E

L'estremo e il minimo sono UNICI

Estremo superiore

E ⊂ IR sup (E) = ∞ E non è limitato c ≠ ∅

Estremo inferiore

E ⊂ IR inf (E) = -∞ a ≠ ∞

Teorema fondamentale dell'algebra

Ogni polinomio a coefficienti complessi di grado n

P(t) = a_ntⁿ + ... + c_nt + c_n

Ammette almeno una soluzione complessa t ∈ ℂ. P(t_n) = 0

Quindi P(t) = (t - t₁) Q(t) → P_nisimo di grado n-1

Corollario

Se P(t) = 0 una equazione di grado n. Allora ammette n soluzioni:

Q(t) = a₀(t - t₁)_{(t - tn)}

Spazio metrico

Spazio metrico (X,d)

• D(x,y) ≥ 0, d(x,y) = 0 ↔ x = y
• D(x,y) = d(y,x)
• D(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) → Disuguaglianza Triangolare

In ℝ

• |x - y| ≥ 0
• |x| + |y| = |x + y| → x + y = x
• |x - z| ≤ |x - y| + |y - z| = |x - y| |y - z|

In ℂ

• T + u + v = 0 ↔ 1-bc
• |t-u| - |u-t| * |v - t| →

Introduzione

U ∈ X intorno intorno a x₀ ↔ ∃ B(x₀,ε) ⊂ U ↔ intorno contiene il punto x* (X,μ) Striscia ape