Analisi 2: Funzioni vettoriali

Analisi 2

R² insieme di coppie ordinate di numeri reali.

R² = { (x, y) : x, y ∈ R }

R³ insieme di terne ordinate → spazio tridimensionale.

Elementi di R² e R³ si dicono vettori.

v = (x, y) ∈ R²

v = (x, y, z) ∈ R³

Componenti dei vettori.

In R² e R³ posso definire la somma.

v = (x₁, y₁)

v = (x₂, y₂)

v + v = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)

In R² e R³ posso definire il prodotto per uno scalare.

λ ∈ R

v = (x, y)

λ · v = (λ · x, λ · y)

Con queste due operazioni R² e R³ hanno struttura di spazio vettoriale.

In R² e R³ è possibile definire il prodotto interno.

v = (x₁, y₁)

v = (x₂, y₂)

〈v, v〉 = x₁x₂ + y₁y₂ ∈ R → è dunque numero non vettore.

Proprietà del prodotto interno

1. ∀ α, β ∈ R ∀ v, v, v ∈ R³, R³ vale

〈α v + β v, v〉 = α 〈v, v〉 + β 〈v, v〉 → linearità.

2. ∀ v, v vale

〈v, v〉 = 〈v, v〉 → simmetria.

Analisi 2

R² insieme di coppie ordinate di numeri reali.

R² = { (x, y) : x, y ∈ R }

R³ insieme di terne ordinate → spazio tridimensionale.

Elementi di R² e R³ si dicono vettori.

v = (x, y) ∈ R²

v = (x, y, z) ∈ R³

Componenti dei vettori.

In R² e R³ posso definire la somma.

v₁ = (x₁, y₁)

v₂ = (x₂, y₂)

v₁ + v₂ = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)

In R² e R³ posso definire il prodotto per uno scalare.

λ ∈ R

v = (x, y)

λ · v = (λ · x, λ · y)

Con queste due operazioni R² e R³ hanno struttura di spazio vettoriale.

In R² e R³ è possibile definire il prodotto interno.

v₁ = (x₁, y₁)

v₂ = (x₂, y₂)

< v₁, v₂ > = x₁ · x₂ + y₁ · y₂ ∈ R (→ è sempre numero non vettore)

Proprietà del prodotto interno

1. ∀ α, β ∈ R ∀ v₁, v₂, v₃ ∈ R³, R³ vale

< α · v₁ + β · v₂, v₃ > = α < v₁, v₃ > + β < v₂, v₃ > → linearità.

2. ∀ v₁, v₂ vale

< v₁, v₂ > = < v₂, v₁ > → simmetria.

Norma di un vettore

Def.

Si dice norma di un vettore y il numero reale non negativo.

||v|| = √> > 0

~ la norma di un vettore è la sua lunghezza.

(Teorema di Pitagora)

Def.

Un vettore di norma 1 si chiama versore.

Si chiamano versori fondamentali di R²:

e₁ = (1,0)

e₂ = (0,1)

In R³ si hanno:

e₁ = (1,0,0)

e₂ = (0,1,0)

e₃ = (0,0,1)

Teoremi

1. ||v|| = 0 se e solo se v = 0. Proprietà di annullamento.
2. ∀ λ ∈ R vale λ ||v|| = ||λ v|| || λ ||. Proprietà di omogeneità.
3. |<v₁, v₂>| ≤ ||v₁|| ||v₂||. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz.
4. ||v₁ + v₂|| ≤ ||v₁|| + ||v₂||. Disuguaglianza triangolare.
5. | ||v₁|| - ||v₂|| | ≤ ||v₁ - v₂||. Disuguaglianza triangolare inversa.

Dimostrazioni.

Angolo, ortogonalità e parallelismo

Def.

Si definisce angolo tra due vettori non nulli v₁ e v₂ l’unico numero θ ∈ ℝ₊ ∈ [0, π] tale che

cos θ = (v₁, v₂) / (||v₁|| ||v₂||)

Def.

Due vettori con prodotto interno nullo sono ortogonali ↔ v₁ ⊥ v₂.

Def.

Due vettori v₂ e v₂ si dicono paralleli (v₁ || v₂) se esiste una costante c ∈ ℝ, c ≠ 0 tale che v₁ = c v₂.

Per convenzione il vettore nullo è parallelo a tutti i vettori.

Prodotto vettoriale in ℝ³

Def.

Dati v₁ = (x₁, y₁, z₁) e v₂ = (x₂, y₂, z₂) si definisce prodotto vettoriale fra v₁ e v₂ il vettore

v₁ ∧ v₂ = (y₁z₂ - z₁y₂, z₁x₂ - x₁z₂, x₁y₂ - y₁x₂)

I, j, v₁ × v₂.

Trucco del determinante formale.

| i j k |

| x₁ y₁ z₁ |

| x₂ y₂ z₂ |

Calcolo il determinante della "matrice".

i (y₁z₂ - z₁y₂) - j (x₁z₂ - z₁x₂) + k (x₁y₂ - x₂y₁)

Vettore risultante è perpendicolare al piano individuato da v₁ e v₂ verso → regola della mano destra.

Proprietà

v₁ ∧ v₂ = - v₂ ∧ v₁ anti commutativa.

v₁ ∧ (v₂ + v₃) = v₁ ∧ v₂ + v₁ ∧ v₃ distributiva.

∀λ ∈ ℝ (λv₁) ∧ v₂ = λ (v₁ ∧ v₂)

v ∧ v = 0

e₁ ∧ e₂ = e₃     e₂ ∧ e₃ = e₁

e₃ ∧ e₁ = e₂ perpendicolarità.

Significato geometrico

Si può dimostrare || v₁ ∧ v₂ || = || v₁ || || v₂ || senθ con θ ∈ [0, π].

La norma di v₁ ∧ v₂ = area del parallelogramma individuato da v₁ e v₂.

Area = || v₁ || h h = || v₂ || senθ Area = || v₁ || || v₂ || senθ.

Si può dimostrare che v₁ è parallelo a v₂ se e solo se θ = 0 o θ = π; se e solo se v₁ ∧ v₂ = 0.

Rette e piani in ℝ³

Def. Una retta in ℝ² è il luogo geometrico dei punti

{(x, y) | ax + by = c}

con a, b, c ∈ ℝ, 0, 0 non entrambi nulli.

b = 0 ➡ a ≠ 0 ➡ x = ^c/_a retta verticale.

b ≠ 0 ➡ by = -ax + c ➡ y = -^a/_bx + ^c/_b

y = mx + q retta obliqua.

La retta è individuata univocamente da un vettore v_o (passaggio per P_o) e da un vettore direzione d, parallelo alla retta.

d = (d₁, d₂) ≠ 0

v_o = (x_o, y_o)

v_o + t dal variare di t ∈ ℝ, varia la retta.

x = x_o + t d₁

y = y_o + t d₂

Equazioni parametriche della retta in ℝ².

Questa procedura si estende facilmente a ℝ³.

x = x_o + t d₁

y = y_o + t d₂

z = z_o + t d₃

P_o = (x_o, y_o, z_o) punto di passaggio.

d = (d₁, d₂, d₃) vettore direzione.

Piano in ℝ³

Consideriamo vettore n ≠ 0 ∈ ℝ³ e v_o ∈ ℝ³.

Def.

Si dice piano il luogo geometrico dei punti v ∈ ℝ³: v - v_o 1 n.

n è vettore normale al piano.

v_o = (x_o, y_o, z_o)

n = (n₁, n₂, n₃)

v = (x, y, z)

v - v_o 1 n ➔ v - v_o, n = 0

(x - x_o) n₁ + (y - y_o) n₂ + (z - z_o) n₃ = 0

a n₁ x + b n₂ y + c n₃ z + d = 0

a b c

Equazione cartesiana del piano.

Funzioni vettoriali di una variabile

Def. Una funzione vettoriale di una variabile

F : D ⊆ ℝ ⟶ ℝ² (F : D ⊆ ℝ ⟶ ℝ³) con D sottoinsieme di ℝ.

- F(x) = (F₁(x), F₂(x))     F₁, F₂ : D ⟶ ℝ     in ℝ²

- F(x) = (F₁(x), F₂(x), F₃(x))

Queste funzioni non presentano differenze concettuali rispetto ad Analisi 1.

Dato D ⊆ ℝ e x₀ ∈ ℝ, si dice che x₀ è punto di accumulazione per D se

∀ ε>0 l'intervallo (x₀ - ε, x₀ + ε) contiene almeno un punto ∈ D, ≠ x₀.

Si dice che +∞ (e rispettivamente -∞) è punto di accumulazione per D se D non è superiormente (e rispettivamente inferiormente) limitato.

ℝ_e = ℝ ∪ {-∞, +∞}

Retta reale estesa.

Limiti

Def. Sia F : D ⊆ ℝ² ⟶ ℝ² x₀ ∈ ℝ_e punto di accumulazione per D.

Sia poi l = (l₁, l₂) ∈ ℝ².

Si dice che &displaystyle \lim_{x \to x_0} F(x) = l se

&displaystyle \lim_{x \to x_0} F_1(x) = l_1 e &displaystyle \lim_{x \to x_0} F_2(x) = l_2

&displaystyle \lim_{x \to x_0} F(x) = \left( \lim_{x \to x_0} F_1(x) \lim_{x \to x_0} F_2(x) \right)

Affinché il limite non esista basta che non esista il limite di una delle componenti.

Continuano a valere il teorema di unicità del limite e il teorema sulle operazioni.

Continuità

Def.

D ⊆ R, x₀ ∈ D.

Si dice che F: D → R² è continua in x₀ se sono continue in x₀ le sue due componenti F₁ e F₂, entrambe.

[Analogo in R³]

Continuità.

Teorema.

D ⊆ R      F: D → R² g: D → R.

F e g continue in tutti i punti di D allora la funzione h(x) = <F(x), g(x)> è continua in tutti i punti di D.

In particolare N_F: D → R, N_F (x) = || F(x)|| è continua in tutti i punti di D.

L₀ caso particolare f(x) = g(x).

Derivabilità

Def. Sia F: (a,b) → R² e sia x₀ ∈ (a,b).

Si dice che F è derivabile in x₀ se sono derivabili le sue componenti in x₀, F₁ e F₂.

Se F è derivabile in x₀, il vettore F' (x₀) = (F'₁ (x₀) F'₂ (x₀)) si chiama vettore derivato.

Teorema      Regole di calcolo.

Siano F e g funzioni vettoriali definite su (a,b) e sia x₀ un punto di (a,b).

Se F e g sono derivabili in x₀ allora:

1. La funzione f+g è derivabile in x₀. Inoltre (f+g)'(x₀) = f'(x₀) + g'(x₀).
2. h: (a,b) → ℝ derivabile in x₀, allora hƑ è derivabile in x₀. (hƑ)'(x₀) = h'(x₀) Ƒ(x₀) + h(x₀) Ƒ'(x₀).
3. Sia φ: (c,d) → (a,b) è iniettiva e sia z₀ ∈ (c,d) : φ(z₀) = x₀ e φ è derivabile in z₀. f ο φ: (c,d) → ℝ² (o ℝ³) è derivabile in z₀ e (f ο φ)'(x₀) = F'(z₀) ⋅ φ'(z₀).
4. La funzione è derivabile in x₀ e '(x₀) = ⟨ f'(x) , g'(x) ⟩ + k.

Integrabilità

Def.

Sia F: [a,b] → ℝ² F è integrabile su [a,b] se sono integrabili le sue componenti F₁, F₂.

In tal caso

∫_a^b F(x) dx = (∫_a^b F₁(x) dx, ∫_a^b F₂(x) dx)

Teorema.

Sia F una funzione vettoriale definita su [a,b] ed integrabile nell'intervallo.

Allora ‖F‖ è integrabile su [a,b].

∥∫_a^b F(x) dx∥ ≤ ∫_a^b ‖F(x)‖ dx

Teorema fondamentale del calcolo.

Sia F una funzione vettoriale definita su [a,b] tale che tale vettore F ∈ F¹[a,b] allora

∫₀^x F'(x) dx = F(b) - F(a)

F₁ e F₂ derivabili con derivata continua in (a,b).

Curve nel piano e nello spazio

Si dice curva una funzione continua r: I → ℝ³ con I ⊆ ℝ intervallo -> insieme immagine r(I).

Si chiama sostegno della curva.

Se il sostegno è contenuto in un piano, la curva si dice piana.

In particolare, una funzione continua r: I → ℝ² è una curva piana.

Notazione.

r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(I), y(I) ⊆ ℝ

Curva piana → r(t) = (x(t), y(t))

Esempi di curve

1. v₀ = (x₀, y₀)      v₁ = (x₁, y₁). f: [0,1] → ℝ². r(t) = (t x₁ + (1-t) x₀, t y₁ + (1-t) y₀). Sostegno è il segmento tra v₀ e v₁. La curva è il modo di percorrere il segmento.
2. Dato f: I → ℝ continua. Si chiama curva cartesiana associata ad f e si indica con r_f(t) = (t, f(t)).
3. r: I → ℝ² con I=[0,2π]. r(t) = (cos t, sen t) descrive la circonferenza unitaria.
4. r(t) = (cos 2t, sen 2t)     t ∈ [0, π]. Sostegno è uguale a circonferenza ma viene percorsa a velocità doppia.
5. r(t) = (cos³ t, sen³ t)     t ∈ [0, 2π]. Sostegno è detto astroide.

5_e r(t) = (Rcos t Rsen t, ct) t ∈ ℝ R,c, >0 costanti fissate la curva descrive un elica cilindrica.

6_e r(t) = (Ae^tcost A e^tsen te^bt) t ∈ ℝ a>0 b ∈ ℝ la curva descrive una spirale logaritmica.

Proprietà

Def. Una curva si dice semplice se presi due tempi distinti t₁ e t₂ di cui almeno uno all'interno dell’intervallo, vale r(t₁) ≠ r(t₂) ⟶ non si autointerseca.

Curva non semplice.

Curva semplice.

Def. Una curva f definita su [a,b] si dice chiusa se r(a) = r(b).

Def. Una curva f definita su [a,b] si dice regolare se:

• È semplice.
• È di classe C¹.
• r'(t) ≠ 0 ∀t ∈ (a,b).

In questo contesto il vettore derivato si chiama vettore velocità e la sua norma si chiama velocità scalare.

Def. Una curva f definita su [a,b] si dice regolare a tratti se esiste una partizione { a = a₀ 1 2 n-1 n = b } di [a,b] tale che la restrizione di f a [a_i, a_i+1] è regolare per i = 1 ... n.

L’astroide è regolare a tratti.

Per una curva regolare è ben definito e diverso dal vettore nullo il versore tangente \(\mathbf{T}(t) = \dfrac{\mathbf{r}'(t)}{\| \mathbf{r}'(t) \|}\) \(\forall t \in (a, b)\).

Se la curva è regolare a tratti il versore tangente è definito tranne che al più un numero finito di punti.

Retta tangente

Def.

Data una curva regolare \( \gamma \) ed un punto \( t_0 \in [a, b] \) si definisce retta tangente in \( \gamma(t_0) \) la retta \( \mathbf{r}(t_0) + t \mathbf{r}'(t_0) \quad t \in \mathbb{R} \).

Punto di passaggio.

Vettore direzione.

Rettificabilità

\(\gamma: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^3\)

Poligonale con numero di punti presi sulla curva.

Partizione \(\beta = \lbrace a_0 = a, a_1, a_2, \ldots, a_n = b \rbrace\)

\(\forall i = 0 \ldots n \quad \text{chiamo} \quad p_i = r(a_i)\)

La poligonale associata a \(\beta\).

La sua lunghezza è

\(l(\gamma_\beta) = \sum_{i=1}^{n} \| p_i - p_{i-1} \| = \sum_{i=1}^{n} \| r(a_i) - r(a_{i-1}) \| \)

Def.

Una curva si dice rettificabile se il \(\sup_{\beta} l(\gamma)\).

Se \(\sup\) è finito → lunghezza della curva.

Se \(\gamma\) è rettificabile il valore \(\sup_{\beta} l(\gamma) = L(\gamma)\).

Teorema.

Se \(\gamma\) è una curva regolare, allora \(\gamma\) è rettificabile e \(L(\gamma) = \int_{a}^{b} \| \mathbf{r}'(t) \| dt\) → integrale della velocità.

In realtà il teorema vale assumendo solo f ∈ C¹[a,b].

Il teorema vale anche per curve regolari a tratti.

Esempio curva non rettificabile.

f: [0,1] → R

f continua.

n > 1 fissato.

Osserva.

Serie armonica divergente che tende a +∞.

Curva equivalente

Due curve r₁: [a,b] → R³

r₁(t) = r₂(φ(t))

La funzione φ si chiama cambiamento ammissibile di parametro (c.a.p.).

Notazione.