analisi 2- appunti- spazi euclidei

Spazi euclidei Rⁿ

Distanza euclidea

m ∈ Rⁿ

A = (a₁, ..., a_n) B = (b₁, ..., b_m)

distanza euclidea: d(A,B) = √((b₁ - a₁)² + (b₂ - a₂)² + ... + (b_m - a_m)²) = √_i=1^m(b_i - a_i)²

Proprietà

• d(A,B) = 0 ↔ A = B
• d(A,B) = d(B,A)
• d(A,C) ≤ d(A,B) + d(B,C)

Domini circolari e rettangolari

Dominio circolare: {P ∈ Rⁿ | d(C,P) ≤ ρ}

Intervallo chiuso = dominio rettangolare:

In R² { (x₁, x₂) | a₁ ≤ x₁ ≤ b₁; a₂ ≤ x₂ ≤ b₂ }

In Rⁿ { (x₁, ..., x_n) | a₁ ≤ x₁ ≤ b₁; ...; a_n ≤ x_n ≤ b_m }

Hanno anche una misura: il prodotto di tutti gli intervalli (dette lunghezze degli intervalli).

Si può definire l’intervallo rettangolare anche tramite il suo centro => diventa un intorno rettangolare.

C_l-h_l ≤ x_l ≤ C_l+h_l

C_m-h_m ≤ x_m ≤ C_m+h_m

Punto interno

Se l ≡ intorno di quel punto che è contenuto anche nell'insieme.

Punto esterno

Se un suo intorno è tutto di complemento.

Punti di frontiera

Non sono né interni né esterni: in ogni intorno vi sono sia punti che è insieme, sia punti che è di complemento.

Frontiera di un insieme

È l'insieme di tutti i punti di frontiera (la frontiera di un insieme è la stessa dei suo complemento).

Spazi euclidei R^m

Distanza euclidea

A = (a₁, ..., a_m) B = (b₁, ..., b_m) d(A,B) = √(b₁ - a₁)² + (b₂ - a₂)² + ... + (b_m - a_m)² = √_i=1^m(b_i-a_i)²

Proprietà

• d(A,B) = 0 ⇔ A = B
• d(A,B) = d(B,A)
• d(A,C) ≤ d(A,B) + d(B,C)

Domini circolari e rettangolari

Dominio circolare: {P ∈ R^m d(C,P) ≤ ρ}

Intervallo chiuso - dominio rettangolare:

In R² { (x₁, x₂) a₁ ≤ x₁ ≤ b₁ ; a₂ ≤ x₂ ≤ b₂ }

In Rⁿ { (x₁, ..., x_n) a₁ ≤ x₁ ≤ b₁ ; ... ; a_n ≤ x_n ≤ b_n }

Hanno anche una misura: il prodotto di tutti gli intervalli (dette lunghezza degli intervalli).

Si può definire l'intervallo rettangolare anche tramite il suo centro ⇒ diventa un intorno rettangolare.

Punto interno

Se ∃ un intorno di quel punto che è contenuto tutto nell'insieme.

Punto esterno

Se ∃ un suo intorno è tutto di complemento.

Punti di frontiera

Non sono né interni né esterni: in ogni intorno vi sono sia punti che ∈ all'insieme, sia punti che ∈ al complementare.

Frontiera di un insieme

È l'insieme di tutti i punti di frontiera (la frontiera di un insieme è la stessa del suo complementare).

Punto isolato

Quando è possibile prendere un intorno in cui non vi siano punti dell'insieme.

Punto di accumulazione

Se qualunque intorno io prenda posso trovarne ∞ punti dell'insieme distinti tra loro (che può coincidere o essere disgiunto da loro).

Un intervallo sono sempre di accumulazione.

I punti di frontiera o sono di accumulazione o sono isolati.

̲ → insieme degli ̲: è l'insieme di tutti i punti interni.

→ chiusura di ̲: = ̲ ∪ ∂̲ frontiera di ̲

Insieme aperto

Un insieme è aperto se tutti i suoi punti sono interni (la frontiera è il suo complementare).

I aperti ed il suo complementare è chiuso.

Insieme chiuso

Se il suo complementare è un aperto, ovvero coincide tutti i suoi punti di frontiera.

I è chiuso se tutti i punti di accumulazione ̲ ϵ Ι̲̲̲ e ̲ è chiuso: se ogni punto di accumulazione ϵ ̲ e • ̲ è chiuso se tutti i suoi punti di frontiera.

Insiemi limitati

Un insieme è limitato se è sia superiormente che inferiormente => ∃ un intervallo che lo contiene tutto.

Insieme limitato inferiormente (superiore) se il numero che numeri ) di qualsiasi x dello stesso insieme, questo è anche un minorante (MAGGIORANTE).

Tra i minoranti è il massimo (minimo) e questo è l'estremo inferiore (SUPERIORE).

Diametro di un insieme

PE IQEI

d(̲, ̲) (l’insieme della distanza tra (coppie di p.ti)

Il sup(d(̲, ̲)) = diametro dello insieme.

(Potrebbe anche essere [variabile incerta]).

Se un insieme è limitato il suo diametro lo è ed è limitato.

Poligonali (o spezzate) in ℝⁿ

Una poligonale si assegna tramite