Analisi 2 - nozioni generali di teoria + formule

Analisi II

Accenni di teoria + formule

Massimi e minimi vincolati

Funzioni di più variabili

Quadriche - Coniche

Serie numeriche

Algebra delle serie

Serie numeriche a termini positivi

Criteri

Serie numeriche a segni alterni

Successioni di funzioni

Serie di potenze

Metodi di calcolo

Serie derivata

Equazioni differenziali

Integrazione multipla

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Analisi 2

Massimi e minimi vincolati

Teorema di Weierstrass

Sia f una funzione di m variabili (con m ≥ 1) a valori reali definita e continua in A ⊆ ℝ^m:

f : A ⊆ ℝ^m → ℝ

Sia C ⊆ A un insieme chiuso e limitato. Allora, esiste in C (almeno) un punto di massimo assoluto e (almeno) un punto di minimo assoluto.

Teorema delle funzioni implicite (Teorema dei Dini) - Caso di funzioni di due variabili

Sia g(x,y) una funzione di classe C¹ in un aperto A ⊆ ℝ² e sia P₀(x₀,y₀) ∈ A un punto tale che g(x₀,y₀)=0 (cioè una soluzione dell'equazione g(x,y)=0).

Hp: Supponiamo che la derivata ∂g/∂y (x₀,y₀) ≠ 0 allora:

Esiste un intervallo I ⊆ ℝ, contenente x₀ e una funzione φ(x) definita e derivabile in I tale che:

• φ(x₀) = y₀
• g(x, φ(x)) = 0, ∀x ∈ I (cioè il grafico di φ(x) è formato da zeri di g(x,y))
• φ'(x) = - (∂g/∂x(x,φ(x))) / (∂g/∂y(x,y))

Osservazione: La retta tangente al grafico di φ(x) ha eq.

y - y₀ = φ'(x₀)(x - x₀)

∂g/∂x(x₀,y₀)(x - x₀) + ∂g/∂y(x₀, y₀)(y - y₀) = 0

Moltiplicatori di Lagrange

Se la funzione f(x,y) ha un punto di estremo relativo su C: g(x,y) = 0 e ∇g(P₀) ≠ 0 ⇒ ∇f(P₀) è ∥ a ∇g(P₀) e quindi esiste un numero reale λ per cui ∇f(P₀) = λ∇g(P₀)

Applicazione pratica per esercizi:

Si trovano i punti stazionari vincolati su C risolvendo il sistema

∇f = λ∇g

g(x,y) = 0

Parametrizzare il vincolo.

Esempio: f(x,y)=xy   C: x²+y²=1

h(t)=f(cost,sint)=cost·sint=e da qui ricavare punti di massimo e minimo disegnando il grafico o calcolando la derivata prima h'(t) e uguagliarla a zero.

Parametrizzazione retta

x=x₀+αt

y=y₀+βt

con α>b e β=-a

Estremi assoluti per funzioni in 3 variabili

In D Esempio: f(x,y,z)=x+2y-2z+4

∇g=(2x,2y,2z)

∇g=0

In C Esempio: f(x,y,z)=z²

C={x²+2y²+z²=25

y+z-5=0

⁰=2λ₁x

⁰=2λ₁y+λ₂

⁰=2λ₁z+λ₂

x²+2y²+z²=25

y+z-5=0

Funzioni di più variabili

• Punto interno - Se preso un p.to è il suo intorno, l’intorno del p.to è nell’insieme

Se nel dato ci sono solo punti interni allora l'insieme è aperto.

• Insieme chiuso - Se il complementare è aperto. Se ammette punti di frontiera
• Insieme limitato → Se possiamo racchiuderlo in una bolla
• Insieme compatto → Se chiuso e limitato
• Convesso → Se per ogni coppia di punti il segmento che li unisce è dentro
• Connesso per archi → Se posso collegare due p.ti nell'insieme attraverso archi/cammini
• Punto esterno → Se è interno al complementare dell'insieme
• Punto di accumulazione - Preso un p.to, il suo intorno, l’interno e il dominio.

Se sottoinsieme del dominio in cui la funzione prende un valore assegnato e si dice insieme di livello.

Se f