Analisi 1 compressed 81 160

Name: Analisi 1 compressed 81 160
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Author: nanus000

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Seconda parte di ogni lezione della professoressa Gabriella Tarantello questo file contiene tutti gli argomenti della seconda parte del corso che copre tutto il mese di novembre : limiti di …

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Tarantello Gabriella

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

A.A. 2016-2017

80 pagine

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Estratto del documento

Limiti, esempi e asintoti verticali

lim_x→3 arc tg¹_x−3 Non ammette limite per x→3 perché⇒ lim⁺_x→3 f(x) = −π/2 ≠ lim⁻_x→3 f(x) = π/2

Per il lemma il limite destro ≠ limite sinistro e quindi il limite non esiste già dimostrato nel esempio 8 della fine del quaderno precedente.

Verifichiamo

Verifichiamo: lim⁺_x→3 f(x) = π/2

Vero ∀δ_ε > 0 −δ_ε < x−3 < 0 ⇒ |arc tg¹_x−3 + π/2| < ε −π/2 1_x−3 verifica verificata.

Ricordo x≥3 "Contro punto per..." così x→3 può essere arc tg¹_x−3 < −π/2 + ε ⇒ 1⁺_x−3⁻ tg ^{(π/2 −ε)} = 3−x =⇒ δ = 3−x > 0 tg^(π/2−ε)⇒ δ_ε =

Esempio 9

f(x) = x/|x| = { +1 per x>0, −1 per x 0}

lim⁺_x→0 f(x) = 1

lim⁻_x→0 f(x) = −1⇒ Allora f(x) = x/|x| non ammette limite per x→0 poiché il limite destro ≠ limite sinistro.

lim arctg 1_x-3 non ammette limite per x->3 già dimostrato nel esempio 8 del quaderno precedente verifichiamo: lim_x->3^- f(x) = π₂ vera la ε₀ -ε<x-3<0

Esempio 9

f(x) = x_|x| 1 per x>0 -1 per x<0 dominio: ℝ-{0} f(x) = x_|x| si chiama funzione segno x_|x|

lim_x->0⁺ f(x) = 1 lim_x->0^- f(x) = -1

Esempio 10

f(x) = sin(1/x)

Dominio = R - {0}

lim_x→0 f(x) = Non esiste

f: [a, +∞) → R

lim_x→+∞ f(x) = l

∀ε>0 ∃M_ε >0 ∀x>M_ε ⇒ |f(x) - l|

f: (-∞, a] → R

lim_x→-∞ f(x) = l

∀ε>0 ∃M_ε >0 ∀x0 ? ∃M_ε >0 ? ∀x>M_ε ⇒ |sin(1/x) - 0|0 -arcsin(ε) mentre 1/x 1/arcsin(ε) = M_ε

Esempio 2

f(x) = lim_t(t/x)

Dominio = ℝ - {0}

lim_x→-∞ t/x = 0

∀ε > 0? ∃η_ε > 0?∀x < -η_ε ⇒ |t/x| < ε

-arcmin(ε) < t/x < arcmin(ε)

In questo caso per x < 0 (Poiché x → -∞) 1/x < arcmin(ε) è sempre vera mentre:

-arcmin(ε) < 1/x < -ε ⇒ 1/x = -1/|x| ⇒ 1/x < arcmin(ε)⇒ 1 > 1/arcmin(ε) ⇒ |x| < - 1/arcmin(ε) ⇒ x < -1/arcmin(ε) = -η_ε

Limite infinito

Definizione

x₀ ∈ D lim_x→x₀ f(x) = +∞

∀M > 0 ∃δ_M > 0 |x-x₀| < δ ⇒ f(x) > M

x ∈ D - {x₀}

Definizione

x₀ ∈ D lim_x→x₀ f(x) = -∞

∀M > 0 ∃δ_M > 0 |x-x₀| < δ ⇒ f(x) < -M

Esempio 1

f(x) = 1/|x|

Dominio = ℝ - {0}

lim_x→0 1/|x| = +∞

∀M > 0 ∃δ > 0 |x-0| < δ ⇒ 1/|x| > M

1/|x| > M ⇒ |x| < 1/M = δ

Esempio 2

f(x) = ¹⁄_x Dominio = ℝ-{0}

In questo caso non abbiamo il modulo e dobbiamo vedere 2 casi.

lim_x→0⁺ ¹⁄_x = +∞ e lim_x→0⁻ ¹⁄_x = -∞

Verifichiamo lim_x→0⁻ ¹⁄_x = -∞

∀M>0 ∃δ>0 --S_{x M ⇒ |x| 1⁄_M Siccome x - ¹⁄_M = δ}

Asintoto verticale

Definizione

x = x₀ è asintoto verticale per f se lim_x→x₀⁻ f(x) = ±∞ σ se lim_x→x₀⁺ f(x) = ±∞

Esempio

g(x) = ^-1⁄_x x≠0 = -1 x=0

lim_x→0 g(x) = +∞

Per la definizione al limite x → 0 non ci prendiamo nella verifica quindi g(x) = ^-1⁄

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