Analisi 1 compressed 161 236

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Author: nanus000

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Terza e ultima parte di ogni lezione della professoressa Gabriella Tarantello, questo file contiene tutti gli argomenti della terza parte del corso che copre tutto il mese di dicembre e gennaio: …

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Tarantello Gabriella

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

A.A. 2016-2017

76 pagine

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Teorema Lagrange per i polinomi di Taylor

f: (a,b) → R (m-1)-volte derivabile in (a,b), con x₀ ∈ (a,b) ⇒ ∃ c₀ ∈ (a,b) :f(x) - P_m(f, x₀)(x - x₀)^m+1= f^(m+1) (t₀)(m+1)!

Per m = 0f(x) - f(x₀)x - x₀f' (t₀)

Dimostrazione per induzione

Per m=0 verificato prima.

Supponiamo che il teorema è valido per m ovvero seg è (m+1)-volte derivabile ⇒ ∃ c₀ compreso tra x e x₀ :g(x) - P_m(g, x₀)(x - x₀)^m+1= g^(m+1) (t₀)(m+1)!

Adesso vediamo se vale per (m+1)f_(m+2) derivabile ⇒ ∃ t₀ ∈ (x, x₀) :f(x) - P_m+1(f, x₀)(x - x₀)^m+2= g^(m+2) (t₀)(m+2)!

F(x) = f(x) - P_m+1(f, x₀) ; F(x₀) = 0

Poiché la funzione meno il suo polinomio di Taylor è nulla.

G(x) = (x - x₀)^m+2 ; G(x₀) = 0

Teorema Lagrange per i polinomi di Taylor

f: (a, b) → ℝ (m+1)-volte derivabile in (a, b), con x₀ ∈ (a, b) ⇒ ∃ t₀ ∈ (a, b) :f(x) - P_m(f, x₀)(x) / (x-x₀)^(m+1) = f^(m+1)(t₀) / (m+1)!

Per m = 0f(x) - f(x₀) / x-x₀ = f'(t₀)

Dimostrazione per induzione

Per m=0 verificato prima.

Supponiamo che il teorema è valido per m ovvero se g è (m+1)-volte derivabile ⇒ ∃ t₀ compreso tra x e x₀ :g(x) - P_m(g, x₀) / (x-x₀)^(m+1) = g^(m+1)(t₀) / (m+1)!

Adesso vediamo se vale per (m+1)f^(m+2) derivabile ⇒ ∃ t₀ ∈ (x, x₀)f(x) - P_m+1(f, x₀) / (x-x₀)^(m+2) = f^(m+2)(t₀) / (m+2)!

F(x) = f(x) - P_m+1(f, x₀) ; F(x₀) = 0

Poiché la funzione meno il suo polinomio di Taylor è nulla.

G(x) = (x-x₀)^(m+2) ; G(x₀) = 0

Quindi: ()_{₊₁(′,₀)} = _()−(₀)′(₁)(x−x₀)⁺² _()−(₀) ≠ _(₁) Applico Cauchy

Con ₁ ∈ (,₀)l’() = () − ₊₁(′,₀)_{(x−x₀)⁺²} = ′()−(′,₀)()_{₊₁(′,₀)} = _{1’(₁),(₁;)₀,(+1)}₀,_(+2)!,₀ _{(m−2)(x−x₀)}→ (₁)((₁),₀)_{−(−₀)+1}(→ Con (+1)!F = ∑₌₀^χ _x^k!X^{0 o -^m/_k=0∑^m¹/_k! e^o - m - ¹/_k=0∑^m¹/_k! ≤ e^oN}

m = ρ∈N⇒ m=Nρ ≤ ^{e^oN!}/_(m+1).⇒ m - Nρ ≤ ^{e N}/_m+11 ≤ m - Nρ ≤ ^{e^N/_m+1}

Assurdo poiché m - Nρ non può essere contemporaneamente ≱ 1 e ˂ 0.

Ordinesi infinitesimo e infinito

f è infinitesima per x -> x_o (δ x -> x^{- _o) ammette ordine di} infinitesimo con ω > 0 se:f(x) = l (x - x_o)^w

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