Appunti di analisi 1

Analisi I 2/10/18

• Insiemi numerici

Operazioni insiemistiche

X insieme universo A, B ⊆ X

• Intersezione: A ∩ B = {x ∈ X ∧ x ∈ B}
• Unione: A ∪ B = {x ∈ A ∨ x ∈ B}
• Differenza: A \ B = {x ∈ A ∨ x ∉ B}
• Prodotto cartesiano, si può definire per A, B non necessariamente in un universo comune A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

Proprietà di Q e R

• Proprietà algebriche di somma e prodotto
  1. P. commutativa
  2. P. associativa
  3. Esistono gli elementi neutri
  4. Esistono gli elementi opposti
  5. P. distributiva

• Proprietà di ordinamento

In R e Q è definita una relazione d'ordine "≤". È sempre possibile confrontare due elementi (ordine totale).

Rappresentazione geometrica

√2 ∉ Q è indecidibile, non è in corrispondenza biunivoca con la retta euclidea.

Assioma di continuità o di completezza in R

Sia X ⊆ Q o X = R. Sia E ⊆ X maggiorante

• E è limitato superiormente ⟹ ∃ M ∈ X | x ≤ M, ∀ x ∈ E
• E ammette massimo se ∃ M ∈ E
• Il maggiorante più piccolo è detto estremo superiore di E.

Analisi I

Insiemi Numerici

Operazioni Insimemistiche

• X insieme universo A, B ⊆ X
• Intersezione: A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B }
• Unione: A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B }
• Differenza: A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B }
• Prodotto cartesiano, si può definire per A, B, non necessariamente in un universo comune
• A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B } coppia ordinata

Proprietà di ℚ e ℝ

Proprietà algebriche di somma e prodotto

• P. commutativa
• P. associativi
• Esistono gli elementi neutri
• Esistono gli elementi opposti
• P. distributiva

Proprietà di ordinamento

In ℝ e ℚ è definita una relazione d'ordine "≤" È sempre possibile confrontare due elementi (ordine totale).

Rappresentazione Geometrica

√2 ∉ ℚ è indecidibile, non è in corrispondenza bionivoca con la retta euclidea.

Assioma di continuità o di completezza in ℝ

• Sia E ⊆ ℚ o X = ℝ Sia E ⊆ X
• E è limitato superiormente
• E ammette massimo se ∃m ∈ E
• Il maggiorante più piccolo è detto estremo superiore di E. [ sup_E]

Analisi I 3/10/18

E è limitato inferiormente >> ∃m∈X | m≤x ∀x∈E

E ammette minimo se ∃m∈E

Estremo inferiore (inf E)

Osservazioni:

• Se E ammette massimo, il minimo coincide con l'estremo superiore
• Si applica anche con il minimo.

Definizione:

Un insieme X soddisfa la proprietà dell'estremo superiore se ogni insieme limitato superiormente ammette estremo superiore in X.

Definizione assiomatica di R:

R è un insieme con + e ⋅ che soddisfano le proprietà algebraiche e l'ordinamento già viste e che soddisfa la proprietà dell'estremo superiore.

• Rappresentazione geometrica di R
• Si dimostra che la proprietà dell'estremo superiore è equivalente a dire che ogni &Perp; di R ammette un minimo elemento separatore
• Radici n-esime aritmetiche

Una partizione (suddivisione) di R costituita da due sottoinsiemi A e B: A≠∅ B≠∅

• A ∪ B = R
• A ∩ B = ∅ (disgiunti)
• ∀a∈A ∀b∈B → a < b
• Es. ]-∞,3[ ]3,+∞[

Perciò R si rappresenza con la retta euclidea.

Conseguenza dell'assioma di continuità

Teorema:

Sia a∈R, ∀a>0 ∀n∈N\{0} ∃! un unico b∈R | bⁿ=a

b si chiama radice n-esima aritmetica di a e si indica con ⁿ√a

b₀, b₁, b₀+a, b₀+a₀ ... Es. Max Z \{b₀, 1, 4, 1,43 ... }=E

deve essere il numero più grande tra quelli con le stesse cifre, non b₀

Potenze con esponente razionale/reale

• Sia a > 0, sia q ∈ ℚ. Possiamo rappresentare q come q = m/n; m ∈ ℤ, n ∈ ℕ\{0} allora
• a^q = a^m/n = (a^m)^1/n = (a^1/n)^m
• ∀x ∈ ℝ. Definiamo a^x a > 1. Sappiamo che x = x₀, x₁, x₂, ..., xₙ,... con infinite cifre non periodiche. L’insieme formato da queste potenze è limitato superiormente. Definiamo l’estremo superiore ā^x
• Se a < 1 definiamo a^x = (a^x)^-1 che si riconduce al caso precedente.

Con questa costruzione sono soddisfatte le proprietà delle potenze:

1. a^x+y = a^x * a^y ∀x,y ∈ ℝ
2. a⁰ = 1 ∀a > 0
3. a^x-y = a^x / a^y ∀x,y ∈ ℝ
4. (a^x)