Accelerazione centripeta

Concetti Chiave

L'accelerazione centripeta è una grandezza fondamentale nel moto circolare uniforme, responsabile della variazione continua della direzione del vettore velocità verso il centro della traiettoria.
La formula per calcolare l'accelerazione centripeta è a_c = v_t^2 / r, dove v_t rappresenta la velocità tangenziale e r il raggio della traiettoria circolare.
La forza centripeta è correlata all'accelerazione centripeta e si calcola come il prodotto tra massa e accelerazione, espressa dalla formula F_c = m * a_c.
Per determinare l'accelerazione centripeta della Terra, si utilizza la distanza media dal Sole e la velocità tangenziale, ottenendo un valore di circa 5,9 * 10^-6 km/sec².
La dimostrazione della formula per l'accelerazione centripeta fa uso di concetti di analisi matematica e calcolo vettoriale, collegando la velocità angolare alla velocità tangenziale.

In questi appunto vedremo meglio che cos'è l'accelerazione centripeta: ossia una grandezza che compare spesso nel moto circolare uniforme. Esso è il moto caratteristico dei corpi che si muovono a velocità costante lungo una traiettoria circolare. La variazione della direzione del vettore velocità è infatti continua, secondo l'azione del vettore accelerazione centripeta.

Immaginiamo di far ruotare uno yo-yo, tenendo il filo in tensione, facendogli seguire una traiettoria circolare, a velocità costante. Se da un momento all'altro dovessimo mollare lo yo-yo, esso cambierebbe il moto e si muoverebbe in avanti, lungo la retta tangente alla traiettoria circolare nel punto di "stop". Tuttavia, se il moto circolare continuasse, allora la variazione di direzione è continua. Il vettore responsabile di questa variazione è diretto verso il centro ed è detto accelerazione centripeta.
Essa si esprime mediante la formula:

[math] a_c = \frac{v_t^2}{r} [/math]

dove

[math] a_c, v_t, r [/math]

rappresentano rispettivamente accelerazione centripeta, velocità tangenziale e raggio della traiettoria circolare.

Relazione tra accelerazione centripeta e forza centripeta

Per la seconda legge della dinamica (anche detta seconda legge di Newton) si ha che la forza è data dal prodotto tra massa e accelerazione. In formule:

[math] F = m \cdot a [/math]

.
Questa relazione è molto utile perché grazie ad essa possiamo ricavare l'espressione che ci permette di calcolare la forza centripeta. Per la seconda legge di Newton, essa sarà uguale al prodotto tra la massa e l'accelerazione centripeta.
In formule:

[math] F_c = m \cdot a_c = m \cdot \frac{v_t^2}{r} [/math]

Per approfondimenti sul moto circolare uniforme, vedi anche qua.

Dimostrazione della formula per l'accelerazione centripeta

Sarà necessario qualche richiamo di analisi matematica e qualche richiamo sul calcolo vettoriale.
In generale, ricordiamo che:

[math] a = \frac{d\vec{v}}{dt} [/math]

Consideriamo due punti con distanza tendente a

[math] 0 [/math]

sulla nostra traiettoria circolare. In quei punti le velocità saranno

[math] \vec{v_1}, \vec{v_2} [/math]

, uguali in modulo pari a
[math] v_t [/math]
ma non in direzione e verso. Formano tra di loro un angolo

[math] d\theta \rightarrow 0 [/math]

Di conseguenza il vettore

[math] d\vec{v} = \vec{v_2} - \vec{v_1} [/math]

. Per il Teorema di Carnot il modulo della differenza tra i due vettori sarà uguale a:

[math] |d\vec{v}| = \sqrt{v_t^2 + v_t^2-2 \cdot v_t \cdot v_t \cdot \cos(\theta)} [/math]

Che possiamo riscrivere come:

[math] |d\vec{v}| = \sqrt{2v_t^2 \cdot (1 - \cos(d\theta))} [/math]

In definitiva avremo che:

[math]a_c = \frac{ \sqrt{2v_t^2 \cdot (1 - \cos(d\theta))}}{dt}[/math]

Possiamo moltiplicare numeratore e denominatore per

[math] \sqrt{1 + \cos(\theta)} [/math]

, e sfruttando il fatto che

[math] \sin^2 (\theta) + \cos^2(\theta) = 1 [/math]

per l'identità fondamentale della trigonometria si ottiene:

[math] a_c = \frac{\sqrt{2v_t^2 \cdot \sin^2(d\theta)}}{dt (\sqrt{1 + \cos(d\theta)}} [/math]

Ora, dal momento che

[math] \theta \rightarrow 0 [/math]

, si avrà che

[math] 1 + \cos(d\theta) \rightarrow 2 [/math]

, quindi possiamo semplificare e riscrivere il tutto semplificando

[math] \sqrt{2} [/math]

come:

[math] a_c = \frac{\sqrt{v_t^2 \cdot \sin^2(d\theta)}}{dt} [/math]

Estraiamo la radice, si ottiene:

[math] a_c = \frac{v_t \cdot \sin(d\theta)}{dt} [/math]

Sfruttando il limite notevole del seno, ossia la nota uguaglianza:

[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 [/math]

, possiamo sostituire

[math] \sin(d\theta) [/math]

con

[math] d\theta [/math]

.
Ma allora:

[math] a_c = v_t \cdot \omega [/math]

dove

[math] \omega [/math]

è detta velocità angolare. Sfruttando il fatto che

[math] \omega \cdot r = v_t [/math]

, otteniamo infine che

[math] a_c = \frac{v_t^2}{r} [/math]

, che è quanto volevamo dimostrare.

Per approfondimenti sui limiti vedi anche qua

Accelerazione centripeta - formule e descrizione articolo

Determinazione dell'accelerazione centripeta della Terra

Determiniamo ora l'accelerazione centripeta della Terra quando orbita intorno al Sole. Sappiamo bene che per la prima legge di Keplero, non si tratta di un moto circolare uniforme bensì di un moto a traiettoria ellittica. Per questo, approssimeremo l'orbita ad una circonferenza.
Abbiamo a disposizione la distanza media tra la Terra e il Sole, pari a

[math] R = 1,496 \cdot 10^8 \text{km} [/math]

. Proviamo a determinare la velocità tangenziale della Terra, tenendo conto del fatto che l'orbita sarà la misura di una circonferenza e quindi pari a

[math] C = 2 \cdot \pi \cdot r = 9,395 \cdot 10^8 \text{km} [/math]

. Tenuto conto del fatto che la Terra impiega (circa) 365 giorni per fare un giro completo intorno al Sole avremo:

[math] v_t = \frac{9,395 \cdot 10^8 \text{km}}{31536000 \text{sec}} = 29,8 \frac{\text{km}}{\text{sec}} [/math]

Ora abbiamo dati sufficienti per determinare l'accelerazione centripeta:

[math] a_c = \frac{v_t^2}{R} = \frac{29.8 \frac{\text{km}}{\text{sec}})^2}{1,496 \cdot 10^8 \text{km}} = 5,9 \cdot 10^{-6} \frac{\text{km}}{\text{sec}^2} [/math]

Visualizza il file allegato.

Domande da interrogazione

Che cos'è l'accelerazione centripeta e come si manifesta nel moto circolare uniforme?

L'accelerazione centripeta è una grandezza che si presenta nel moto circolare uniforme, dove i corpi si muovono a velocità costante lungo una traiettoria circolare. Essa è responsabile della continua variazione della direzione del vettore velocità, ed è diretta verso il centro della traiettoria.

Qual è la formula per calcolare l'accelerazione centripeta?

L'accelerazione centripeta si esprime con la formula \( a_c = \frac{v_t^2}{r} \), dove \( v_t \) è la velocità tangenziale e \( r \) è il raggio della traiettoria circolare.

Come si collega l'accelerazione centripeta alla forza centripeta?

La forza centripeta è calcolata utilizzando la seconda legge di Newton, risultando nella formula \( F_c = m \cdot a_c = m \cdot \frac{v_t^2}{r} \), dove \( m \) è la massa dell'oggetto in movimento.

Come si dimostra la formula dell'accelerazione centripeta?

La dimostrazione coinvolge analisi matematica e calcolo vettoriale, partendo dalla definizione di accelerazione e considerando due punti sulla traiettoria circolare. Si arriva infine alla formula \( a_c = \frac{v_t^2}{r} \) utilizzando il limite notevole del seno.

Qual è l'accelerazione centripeta della Terra mentre orbita intorno al Sole?

L'accelerazione centripeta della Terra, approssimando la sua orbita a una circonferenza, è calcolata come \( a_c = \frac{v_t^2}{R} \), risultando in \( 5,9 \cdot 10^{-6} \frac{\text{km}}{\text{sec}^2} \) utilizzando una velocità tangenziale di circa \( 29,8 \frac{\text{km}}{\text{sec}} \).

Accelerazione centripeta - formule e descrizione

Scopri l'accelerazione centripeta, fondamentale nel moto circolare uniforme. Approfondisci le formule che la collegano ad altre grandezze fisiche e comprendi come influisce sulla variazione della direzione del vettore velocità nei corpi in movimento.

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