Matrici

Matrici

Una matrice di tipo (m, n) o m x n è una tabella in un campo K è del tipo A = (_{i, j}) con m righe ed n colonne in funzione di 2 indici che rappresentano le colonne e le righe.

Per indicare elemento ij scriveremo A = (a_ij) dove a_ij è il generico elemento di A. i ∈ {1, ..., m} ⇒ indice di riga. j ∈ {1, ..., n} ⇒ indice di colonna.

(^{1 0 0})(_{0 2 -1}) è una matrice di tipo (2, 3).

(¹)(_{0 2}) tipo = (3, 1) vettor colonna ⇒ 1 colonna.

(^{i i})(_{-i i+1}) è una matrice di tipo (2, 2).

(^{0 1 5 3}) tipo = (1, 4) vettore riga.

Forme compatte

A = (a_ij)

A = (_{a_i a¹ a² ... aⁿ})

a_i è la i-esima riga di A. a_i = (a_i1 a_i2 ... a_in) ∈ Kⁿ. i è indice di riga: i ∈ {1, ..., m}.

A = (^{a¹ a² ... a^h} a^ic ... ).

a^c i-esima colonna di A. i ∈ {1, ..., n}. a^c = (_{a_ic}) ∈ K^m.

K^mn = { matrici di tipo (m, n) su K } insieme.

Quando il numero di righe coincide con il numero di colonne la matrice A è quadrata.

A = (_{a₁₁ a₁₂ ... a_1n} ... a_n1 a_n2 ... a_mn)

Diagonale principale costituito dagli elementi in posizione (i, i) con i ∈ {1, ... n}.

Matrici

Una matrice di tipo (m,n) o m x n è una tabella in un campo K è del tipo in funzione di 2 indici che rappresentano le colonne e le righe.

Per indicare elemento ij scriveremo A = (a_i,j) dove a_i,j è il generico elemento di A. i ∈ {1,...,m} ⇒ indice di riga. j ∈ {1,...,n} ⇒ indice di colonna.

Forme compatte

A = (a_i,j)

a_i è i-esima riga di A. a_i = (a_i,1, a_i,2, ... a_i,n) ∈ K ⁿ.

i = indice di riga da {1,...,m}.

a^c i-esima colonna di A. c ∈ {1,...,n}.

a^c i ∈ K ^m.

Trasposizione

Sia A ∈ ℝ^k,m, si dice matrice trasposta di A la matrice A^T ottenuta da A scambiando righe e colonne.

Esempio

A = ( 1 0 -22 1 3 ) ∈ ℝ^2,3

A^T = ( 1 20 1-2 3 ) ∈ ℝ^3,2

A = ( 0 -11 i ) ∈ ℝ^2,2

A^T = ( 0 1-1 i ) ∈ ℝ^2,2

Se A ∈ ℝ^k,n ⇒ A^T ∈ ℝ^n,m.

Sia A ∈ ℝ^n,n, se A = A^T allora A è simmetrica.

A = ( 1 12 0 ) ≠ A^T = ( 1 21 0 ).

A non è simmetrico.

B = ( -1 0 10 1 21 2 -1 ) = B^-T = ( -1 0 10 1 21 2 -1 ).

B è simmetrico.

Se A = (a_i,j), A^T = (b_i,j), b_ij = a_ji.

Se A è simmetrica, allora a_ij = b_ij = a_ji ∀ i,j ∈ {1,...,n}.

A è simmetrico se e solo se a_ij = a_ji ∀ i,j ∈ {1,...,n}.

Esempio

C = ( 1 11 21 22 3 ) C è simmetrico.

Δ = ( +0+1 0 ) D non è simmetrico.

Matrici antisimmetriche

Sia A ∈ ℂ^n,n, A si dice antisimmetrica se A^T = -A.

Esempio

A = ( ^{0 1}/_{-1 0} )

A^T = ( ^{0 -1}/_{1 0} )

A^T = -A = ( ^{0 -1}/_{1 0} )

A è antisimmetrica.

A = (a_ij) A^T = (b_ij) b_ij = a_ji.

A è antisimmetrica se e solo se a_ji = -a_ij ∀ i,j ∈ {1,...,n}.

Se i = j ⇒ a_ii = -a_ii ⇒ a_ii = 0.

Gli elementi sulla diagonale principale devono essere uguali a 0.

Esempio

B = ( ^{0 2 1}/_{-2 0 3}/_{-3 -3 0} ) B è antisimmetrica.

C = ( ^{1 2}/_{-2 1} ) C non è antisimmetrica.

La diagonale

Sia A ∈ ℂ^n,n, A si dice triangolare alta se tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale sono nulli.

A = ( ^{a₁₁ a₁₂ ... a_1n}/_{0 ... ...}/_{0 ... a_nn} )

A = ( ^{0 2}/_{0 -3} ... ... 1/_{0 ...} 2) è triangolare alta.

B = ( ^{1 2}/_{0 2} 1) non è triangolare alta.

Sia A ∈ ℂ^n,n, A si dice triangolare bassa se gli elementi al di sopra della diagonale principale sono nulli.

A = ( a₁₁ .../_a₃₀ )

Se A è triangolare sia alta che bassa allora A si dice diagonale.

A = \(\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & a_{nn} \end{pmatrix}\) = D(a₁₁, ..., a_nn)

Se a₁₁ = ... = a_nn = $\lambda$ allora A si dice scalare.

A = \(\begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}\) = D_n($\lambda$)

D_n(0) = \(\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) Matrice nulla.

D_n(1) = \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) Matrice identica.

Ordine = quante righe e quante colonne.

Spazio vettoriale delle matrici

Somma matrici: i^kxm x i^kxn → i^kxm.

(A, B) → A + B.

A = (a_ij) B = (b_ij)

A + B = (a_ij + b_ij)

\( \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{2n} \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{mn} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & b_{2n} \\ b_{m1} & b_{m2} & b_{mn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & ... & a_{2n} + b_{2n} \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & a_{mn} + b_{mn} \end{pmatrix}\)

Esempio

A = \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix}\)

B = \(\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ -3 & 2 & 5 \end{pmatrix}\)

A + B = \(\begin{pmatrix} 0 & 2 & -3 \\ -2 & -1 & 5 \end{pmatrix}\)

Proprietà

• Associatività: (A + B) + C = A + (B + C)
• Commutatività: (A + B) = (B + A)
• L'elemento neutro della somma è la matrice nulla O
• Esistenza dell'opposto A + (-A) = O

m \ \ \in \mathbb{K}^{m \times n} \to \mathbb{K}^{m \times n} \to \ m \ restituisce \ matrice\end{p>d, \ A=(a_{ij} \qquad \to \ (d \ A = (d \cdot a_{i,j}))\end{p>

Esempio

2 \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} 2 & 0 & 6 \\ 4 & -2 & -2 \end{array} \right)

Proprietà

\alpha, \beta \in \mathbb{K} \quad \ A, \ B \in \mathbb{K}^{m \times n}

• (\alpha + \beta)A = \alpha A + \beta A
• \alpha (A + B)=\alpha A + \alpha B
• d(\beta A) = (\alpha \beta) A

(\mathbb{K}^{m \times n}, \ +, . ) \ spazio \ vettoriale \ delle \ matrici \ di \ tipo \ m \times n \ a \ entrata \ in \mathbb{K}

Matrici unitarie

E₄₄ = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & \ldots \\ 0 & 1 & \ldots \end{array} \right)

E_i+2 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & \ \ 1 & \ \ \ldots \\ \ldots & \ 0 & \ldots \end{array}\right)

E_ij= \left( \begin{array}{ccc} \ldots & \ \ \ \ & \ldots \\ \ldots & \ 1 & \ldots \end{array} \right) \ nella \ posizione \ generica \ ij.

Il \ numero \ delle \ matrici \ unitarie \ saranno \ m : n.

Prodotto tra matrici

Sia \ A= \left( a_{i1} \ \ldots \ a_{in} \right) \ \in \mathbb{K}^{1 \times n}.

B= \left( \begin{array}{c} b_{1,1} \\ b_{2,1} \\ b_{n,1}\end{array} \right) \in \mathbb{K}^{n,1}\quad \ A \cdot B = \left( a_{i1}, \ \ldots, \ a_{in} \right), \left( b_{i1}, \ \ldots, b_{n1} \right)

Esempio

A=(1 \ \ 2 \ \ -3) \qquad B = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right)

A \cdot B = \left( - (0,1,2,-1) \right) = 0+4+(-6)=-8

Più \ in \ generale, \ A(a_{ij}) \in \mathbb{K}^{m \times n} \quad B(b_{ij}) \in \ \mathbb{K}\ A \cdot B = \left( \begin{array}{c} \ \ a_{1} \\ \ a_{2} \\ \ \ldots \\ \ a_{e} \ \ldots \end{array} \right)(b_{11}, \ \ldots, \ b_{e1} = \ , \ \ldots, \ )\end{p>