Compito in classe IV liceo scientifico PNI

L.Lecci\aprile 2004\ 1

Geometria, trigonometria, traslazioni nel piano cartesiano-Utilizzo di Derive

Problema

Nella semicirconferenza di diametro AB=2r si inscriva il Competenze richieste

triangolo rettangolo isoscele ABC e si prenda sull’arco AC Teoremi sul triangolo

‰

un punto P. Indicata con x l’ampiezza dell’angolo PAC, rettangolo.

risolvere i seguenti quesiti: Teorema della corda.

‰ Formule di addizione.

a) determinare x in modo che risulti ‰

( ) Risoluzione di equazioni lineari

‰

+ + = +

AP PB PC 6 1 r ; in senx e cosx.

Applicazione di una traslazione

‰

b) tracciare il grafico della funzione nel piano cartesiano ad una

= + +

f ( x ) AP PB PC ; curva.

c) stabilire per quale valore di x la funzione assume il

valore massimo;

d) tracciare il grafico della funzione g(x) ottenuta dalla f(x) applicando la traslazione di vettore

G ( ) α

α =

v ; 3

r , essendo arctg 2 .

Soluzione

Facciamo riferimento alla figura Fig.1

a) Il triangolo ABC è rettangolo nel vertice C perché inscritto

in una semicirconferenza ed è isoscele, quindi l’angolo

BAC ha ampiezza 45°;

l’angolo PAB misura 45°+x.

Per quanto concerne i valori di x osserviamo che risulta

x

≤

0°≤ 45° perché il punto P deve muoversi sull’arco AC e

sono consentite le posizioni estreme. Infatti,

≡

se P A si annulla la misura della corda AP , PC coincide con AC e PB coincide con il

diametro AB;

≡

se P C allora AP coincide con AC, PC si riduce ad un punto e PB coincide con BC. La

somma delle misure dei tre segmenti ha senso qualunque sia la posizione di P sull’arco AC.

si ottengono velocemente applicando il teorema della

Le misure delle corde AP, PC, PB

(1)

corda o i teoremi relativi ad un triangolo rettangolo.

Dal triangolo rettangolo APB si ha:

= + ° = ⋅ + °

AP AB cos( x 45 ) 2 r cos( x 45 ) ;

= + ° = ⋅ + °

PB ABsen ( x 45 ) 2 r sen ( x 45 ) .

Determiniamo la misura della corda PC applicando il teorema della corda:

= ⋅

PC 2 r senx

A questo punto possiamo scrivere la relazione richiesta nel quesito

( )

+ + = +

AP PB PC 6 1 r in funzione della variabile x.

( )

⋅ + ° + ⋅ + ° + ⋅ = +

2 r cos( x 45 ) 2 r sen ( x 45 ) 2 r senx 6 1 r (a.1)

Semplificando il fattore r ed applicando le formule di addizione per il seno ed il coseno si

ottiene [ ]

° − ° + ° + ° + = + ⇔

2 (cos x cos 45 senxsen 45 ) ( senx cos 45 cos xsen 45 ) senx 6 1

+ = +

2 2 cos x 2 senx 6 1 (a.2)

La (a.2) è un’equazione lineare in