Teoremi del calcolo differenziale

Luca Lussardi Appunti di Analisi I

Teoremi del calcolo differenziale

Le funzioni derivabili godono di importanti proprietà che verranno analizzate in questa sezione.

Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange

→ ∈

Sia f : [a, b] con a, b continua nel suo dominio e derivabile in

Teorema (Rolle): R, R,

∈

(a, b); sia inoltre f (a) = f (b). Allora esiste x (a, b) punto stazionario per f .

Dimostrazione. Per il Teorema di Weierstrass f ha punto di minimo e di massimo assoluti

in [a, b]; se tali punti coincidono con a e b allora f costante in [a, b], per cui ogni punto di (a, b)

è stazionario per f . Si può quindi supporre che almeno uno tra minimo e massimo assoluti sia

in (a, b): per il Teorema di Fermat tale punto è critico per f .

→ ∈

Sia f : [a, b] con a, b continua nel suo dominio e derivabile in

Teorema (Cauchy): R, R,

∈

(a, b); allora esiste x (a, b) tale per cui si abbia

0 0

− −

g (x)(f (b) f (a)) = f (x)(g(b) g(a)).

0 6

Se inoltre si ha g (x) = 0 in (a, b) allora si ha 0

−

f (b) f (a) f (x)

= .

0

−

g(b) g(a) g (x)

→ − − −

Dimostrazione. Sia h : [a, b] definita come h(x) = g(x)(f (b) f (a)) f (x)(g(b) g(a)); ev-

R

identemente h è continua su [a, b] e derivabile su (a, b). Inoltre si ha h(a) = h(b); per il Teorema

∈

di Rolle esiste x (a, b) stazionario per h, che è la tesi. → ∈

Sia f : [a, b] con a, b continua nel

Teorema (Lagrange o del valor medio): R, R,

∈

suo dominio e derivabile in (a, b). Allora esiste x (a, b) tale per cui

−

f (b) f (a) 0

= f (x).

−

b a

Dimostrazione. Basta applicare il Teorema di Cauchy considerando la funzione g(x) = x.

Rimuovendo anche solo una delle ipotesi di base dei tre Teoremi dimostrati, questi

Esempio:

ultimi, in generale, non sussistono più. Ad esempio la rimozione della continuità non garantisce

→ ∈

la validità del Teorema di Rolle: la funzione f : [0, 1] data da f (x) = x per x [0, 1) e

R

f (1) = 0 verifica tutte le altre condizioni ma non ha punti stazionari in (0, 1). Analogamente la

rimozione della derivabilità comporta la perdita della validità del Teorema di Rolle: la funzione

→ |x|

f : [−1, 1] data da f (x) = verifica tutte le altre condizioni ma non ha punti stazionari

R →

in (−1, 1). Infine la funzione f : [0, 1] data da f (x) = x verifica tutte le condizioni tranne

R

f (0) = f (1) ed invero non ha punti stazionari in (0, 1).

Esempi del tutto analoghi si possono facilmente costruire per un’analisi dei Teoremi di Cauchy

e Lagrange.

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