Infinito, una sfida del pensiero

∞ in matematica

Viene applicato solo ad enti astratti.

• Definizione: un insieme si dice infinito quando è possibile metterlo in corrispondenza biunivoca con un suo sottinsieme (ad esempio i numeri naturali e i numeri dispari).
• Calcolo infinitesimale delle aree di figure non riconducibili a quelle conosciute: l’area di una figura viene suddivisa in rettangoli di base infinitesima, la sommatoria delle cui aree approssima per eccesso o per difetto quella della figura.
• Analisi dei punti di discontinuità e dell’andamento di una funzione quando la variabile assume valori infinitamente grandi o infinitamente piccoli (per esempio: x; y = tgX; y = 1; y = a;...).
• Calcolo di π come limite per n (numero dei lati) che va all’infinito dei perimetri dei poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza.
• Gli insiemi infiniti possono essere:
  • Densi: tra due numeri consecutivi ce ne sono altri;
  • Discreti: tra due numeri consecutivi non ce ne sono altri.
• Gli intervalli del tipo (a;b) o [a;b] sono insiemi limitati e infiniti; mentre gli intervalli del tipo [a;+∞), (a; +∞), (-∞;b) o (-∞;b] sono illimitati e infiniti.
• Se il numeratore e il denominatore hanno grado uguale, il limite
  n² + 1
  lim = 1
  n²
  n → ∞
  è uguale al rapporto tra i coefficienti;
• Se il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore, il limite
  2n² + 3
  lim = +∞
  n³ + 3
  n → ∞
  è ∞.
• Se il grado del numeratore è minore del grado del numeratore, il limite
  4n
  lim = 0
  n² + 5
  n → ∞
  è zero.
• Limiti notevoli (per esempio: (1 + 1/n)ⁿ; lim = e) servono per calcolare le forme d’indecisione del tipo: +∞ -∞; 0⁰; ∞⁰; 1^∞; 0/0; ∞/∞.

Kant: l’infinito come antinomia della ragione

Le antinomie della ragione sono contraddizioni insolubili, nelle quali le tesi e le antitesi si bilanciano, entrambe sorrette da ragionamenti “rigorosi”, ma non sostenuti dal confronto con l’esperienza.

Kant analizzando le filosofie precedenti ha trovato quattro antinomie:

1. Il mondo ha avuto un inizio nel tempo ed ha un limite nello spazio/ il mondo è eterno e infinito.
2. Il mondo è composto da elementi indivisibili/il mondo è composto da elementi divisibili all’infinito.
3. Esiste una causalità libera (obbedire o disobbedire ad un comando generale), oltre a quella naturale/ esiste solo una causalità naturale.
4. Esiste qualcosa di assolutamente necessario./ ogni realtà è solo contingente. 1

La 1° e la 2° sono entrambe false perché non possiamo avere tutto il mondo davanti a noi per vedere se è finito o infinito.

La 3° e la 4° sono vere se le tesi vengono riferite ad una cosa conoscibile e le antitesi alla sola esperienza.

Lucrezio

Lo scrittore latino nel “De rerum natura” esprime la concezione della spaventosa forza della natura e l’infinita fragilità dell’uomo.