Il Viaggio Perfetto (ebook)

A. Amadori: Il viaggio perfetto

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A. Amadori Il viaggio perfetto

Arrigo Amadori

Il viaggio perfetto

Come diventare

Esploratori di superfici

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A. Amadori Il viaggio perfetto

Editing

Antonio Bernardo

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978 88 963 5407 0

ISBN: 3

A. Amadori Il viaggio perfetto

Indice

Presentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 Le curve 13

1.1 Il vettore tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Lunghezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Le superfici 21

2.1 Vettori tangenti ad una superficie . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Campi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

2.3 Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.1 Prodotto interno sul piano tangente, tensore metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

2.3.2 Angolo fra due vettori del piano tangente . . . . . . 45

2.3.3 Lunghezze su superficie, elemento di linea . . . . . 46

2.3.4 Aree su superficie, elemento di superficie . . . . . 49

3 Le geodetiche 56

3.1 Rudimenti di calcolo variazionale . . . . . . . . . . . . . .57

3.2 Geodetiche nello spazio euclideo tridimensionale (approccio variazionale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3 Geodetiche sulle superfici (approccio variazionale) 63

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3.4 Geodetiche sulle superfici (approccio vettoriale) . . . 70

3.4.1 Derivata covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

3.4.2 Campo parallelo. Spostamento parallelo . . . . . . . 82

3.4.3 Geodetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4 Curvatura 90

4.1 Curvatura gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2 Il teorema egregium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103

4.3 La curvatura dal punto di vista del trasporto parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.4 La curvatura dal punto di vista delle geodetiche . .133

Bibliografia essenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136

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Presentazione

Questo libro rappresenta un giusto compromesso tra chi desidera apprendere le basi della geometria differenziale della superficie nello spazio ordinario, e invece chi cerca qualche spunto per eventuali approfondimenti successivi. Infatti, la trattazione dei fondamenti della teoria della superficie è presentata in modo non eccessivamente tecnico e formale, corredato da molte figure e dando ampio spazio all'intuizione, ma senza trascurare i passaggi matematici più delicati, che necessiterebbero di approfondimenti ulteriori, ma che devierebbero troppo dal percorso proposto.

Dopo una breve introduzione alla teoria delle curve differenziabili nello spazio ordinario, l'autore introduce in modo semplice e intuitivo le superfici parametrizzate e presenta subito la questione più delicata e feconda, ovvero la nozione di metrica indotta dallo spazio ordinario sulla superficie. Passa quindi allo studio delle linee geodetiche, per le quali offre, in modo intuitivo ma ricco di spunti, parecchi aspetti di notevole interesse e ben collegati con altre parti della matematica moderna, in particolare il Calcolo delle Variazioni. Infine è d'obbligo la teoria della curvatura, anch'essa presentata in modo semplice, chiaro e a

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partire dalle vecchie ma brillanti idee di Gauss e Riemann.

Il testo risulta adatto a tutti coloro che hanno una buona conoscenza dell'Algebra lineare e dell'Analisi matematica in dimensione finita, per esempio studenti dei primi anni delle facoltà di Scienze o di Ingegneria.

Dortmund (Germania)

Luglio 2010 Luca Lussardi

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Prefazione

La geometria differenziale delle ordinarie superfici di ℝ³ è una branca della matematica estremamente bella e stimolante. Essa conduce naturalmente, se generalizzata ad n dimensioni, alla geometria riemanniana ed al connesso calcolo tensoriale. Queste ultime costituiscono la base matematica della teoria della relatività generale, universalmente considerata la più bella teoria fisica, fra le più alte vette del pensiero umano di tutti tempi.

Questa doppia valenza, matematica e fisica, secondo me, rende la geometria differenziale ancora più interessante ed affascinante.

In queste pagine, mi propongo di introdurre il lettore in questo mondo stupendo facendogli vivere la stessa “emozione” di un “esploratore” che entra in una terra sconosciuta. In cambio, come prerequisito, è richiesta una buona conoscenza della matematica di base, almeno a livello di biennio universitario di matematica, fisica, ingegneria o simili.

Lo stile è descrittivo/intuitivo. Il formalismo è snello e pratico. Non mi dilungo in inutili tecnicismi matematici, né utilizzo un linguaggio ampolloso e pedante, ben sapendo però che ciò è a

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scapito del rigore formale matematico. Dovendo scegliere – fra rigore e pragmatismo - ho preferito l'approccio pragmatico, avendo io la forma mentis di un fisico. Darò, quindi (a parte doverosi approfondimenti), per scontate tutte le condizioni di regolarità delle situazioni e delle funzioni in gioco, cioè darò per scontato che le cose “siano tali da funzionare correttamente”.

Infine, desidero ringraziare Antonella Valzania, segretaria del Circolo Matematico Cesenate, per la correzione delle bozze.

Cesena, dicembre 2009 Arrigo Amadori

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Introduzione

L'aggettivo “differenziale” che si aggiunge alla parola geometria sta ad indicare che in quella teoria matematica si applicano alla geometria (essenzialmente riguardante punti dello spazio) i concetti e i metodi del calcolo differenziale. Tale calcolo si basa sul concetto di derivata, di differenziale e di vettore tangente. In sintesi, si può dire che in geometria differenziale si “esplorano” le figure (geometriche) per mezzo dei vettori tangenti, perché con tali vettori, ogni linea o superficie curva può essere, almeno localmente, linearizzata, cioè considerata piana.

Le superfici sono sottoinsiemi di ℝ³ a due dimensioni che, per semplicità e convenienza, vogliamo siano lisce, regolari, cioè prive di punti aguzzi, spigoli vivi, spiegazzamenti, lacerazioni ecc. L'esigenza di regolarità è ovvia.

Le superfici sono insiemi di punti immersi in ℝ³. Per questo dobbiamo conoscere bene le proprietà di questo spazio, che è lo spazio vettoriale reale tridimensionale.

I punti (vettori) di ℝ³ sono le triple ordinate:

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 

a₁

=a₁, a₂, a₃=

a₂

a₃ ∈ℝ

rappresentabili come vettori riga o colonna, con a₁, a₂, a₃

Figura 0.1 {e₁, e₂, e₃}

La base ortonormale canonica di ℝ³ è {e₁, e₂, e₃}, dove:

e₁ =1, 0, 0

e₂ =0, 1, 0 (0.2)

e₃ =0, 0, 1

Per i vettori della base ortonormale vale la condizione:

⟨e_i, e_j⟩=δ_i,j (0.3)

δ_i,j = { 1, i = j; 0, i ≠ j }, con i, j = 1, 2, 3, è la delta di Kronecker.

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Figura 0.2

Per i vettori di ℝ³ sono definite le seguenti operazioni:

a ± b = (a₁ ± b₁, a₂ ± b₂, a₃ ± b₃) addizione e sottrazione

k a = k (a₁, a₂, a₃) = (k a₁, k a₂, k a₃) (k ∈ℝ) moltiplicazione per uno scalare

⟨a, b⟩ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ prodotto interno o scalare

a × b = prodotto vettoriale

e₁ e₂ e₃ (0.4)

Il prodotto interno può essere indicato anche con a · b ed il prodotto vettoriale con a ∧ b.

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Lo spazio ℝ³, dotato del prodotto interno ⟨a, b⟩ definito sopra, è detto spazio euclideo tridimensionale reale.

Il prodotto interno induce in ℝ³ la norma:

∥a∥ = √⟨a, a⟩ = √a₁² + a₂² + a₃² (5)

e la distanza:

da, b = ∥a − b∥ = √(a₁ − b₁)² + (a₂ − b₂)² + (a₃ − b₃)² (6)

La distanza induce in ℝ³ la topologia naturale in cui gli intorni sono le sfere aperte:

S(a, r) = {b ∈ℝ³; d(a, b) < r} (7)

centrate in ogni punto di ℝ³ ed aventi raggi r > 0.

Figura 0.3

Abbiamo così definito tutte le proprietà di ℝ³ che dovremo usare.

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1. Le curve

Prima di iniziare a parlare di superfici, occorre introdurre le curve, le linee di ℝ³, che sono oggetti ad una dimensione (e che, come sempre, consideriamo lisce, regolari, ecc.). Su di esse definiremo il concetto di vettore tangente, di lunghezza e di curvatura e lo faremo in modo sintetico e rapido, trattandosi di concetti molto evidenti.

Una curva α di ℝ³ è descrivibile da una data parametrizzazione, cioè da una funzione vettoriale α: (t₁, t₂) ⊆ ℝ → ℝ³, t, (t₁, t₂ è un intervallo aperto) (l'uso di una stessa lettera per indicare la curva e la sua parametrizzazione non crea ambiguità).

Possiamo indicare una parametrizzazione di una curva con le scritture:

α(t) oppure ξ(t) = (ξ₁(t), ξ₂(t), ξ₃(t))

t ∈ (t₁, t₂) ⊆ ℝ, (ξ₁, ξ₂, ξ₃) ∈ℝ³ (1.1)

o con altre convenienti notazioni che eventualmente useremo nel seguito e che saranno autoesplicative. Figura 1.1

Ovviamente, una curva (come insieme di punti) possiede infinite parametrizzazioni. Infatti, data una parametrizzazione α(t) = t, tramite la trasformazione t = t(τ), si ottiene la nuova parametrizzazione α(t(τ)).

1.1 Il vettore tangente

Definiamo ora il concetto di vettore tangente.

Siano α una curva (con una parametrizzazione α(t)) ed α(t) e α(t + ε), con ε > 0: i suoi punti

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Figura 1.2

Costruiamo i vettori α(t + ε) − α(t) e (α(t + ε) − α(t))/ε.

Figura 1.3

Orbene, il vettore tangente ad una curva è definito come:

α̇(t) = lim_ε→0 (α(t + ε) − α(t))/ε (1.2)

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dove il punto indica la derivata prima rispetto a t.

Figura 1.4

Le componenti del vettore tangente sono:

α̇(t) = (ξ̇₁(t), ξ̇₂(t), ξ̇₃(t)) (1.3)

dove α(t) = (ξ₁(t), ξ₂(t), ξ₃(t)).

Per le sempre presenti esigenze di regolarità, supporremo che le derivate qui introdotte abbiano tutte le proprietà necessarie. In particolare, imporremo sempre che si abbia in ogni punto della curva: α̇(t) ≠ 0 (1.4) così da evitare indesiderabili singolarità (come sarà più chiaro in seguito).

Il vettore tangente ad una curva α̇(t), in analogia con la fisica, è detto anche velocità.

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Vediamo ora una prima applicazione del vettore tangente.

1.2 Lunghezza

La lunghezza della curva fra i punti α(t₁) e α(t₂) è

l = ∫_t1^t₂ ds = ∫_t1^t₂ √dξ₁² + dξ₂² + dξ₃² = ∫_t1^t₂ √ξ̇₁² + ξ̇₂² + ξ̇₃² dt = ∫_t1^t₂ ∥α̇(t)∥dt (1.5)

Se si sceglie una parametrizzazione per cui valga in ogni punto ∥α̇(t)∥ = 1, la lunghezza assume una forma più semplice, esattamente:

l = ∫_t1^t₂ ∥α̇(t)∥dt = ∫_t1^t₂ dt = t₂ − t₁ (1.6)

In questo caso, si dice che la curva è parametrizzata dalla lunghezza e la curva (fra i due punti α(t₁) e α(t₂)) è lunga esattamente quanto l'intervallo (t₁, t₂).

Intuitivamente, in questo caso si può pensare che la curva sia stata ottenuta da un segmento semplicemente incurvandolo, senza allungarlo o accorciarlo.

Una curva parametrizzata dalla lunghezza introduce in modo naturale il concetto di curvatura (di una curva).

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Figura 1.5

1.3 Curvatura

Consideriamo la curva α(t) parametrizzata dalla lunghezza, cioè per cui sia in ogni suo punto ∥α̇(t)∥ = 1.

La curvatura in un punto della curva indica, intuitivamente, quanto il vettore tangente cambia di direzione. Se eseguiamo la derivata prima del vettore tangente, cioè la derivata seconda della curva, (detta anche accelerazione) otteniamo un vettore α̈(t), che è perpendicolare a α̇(t), la cui norma indica appunto la curvatura della curva.

La perpendicolarità α̈(t) ⟂ α̇(t) è intuibile geometricamente facendo il limite per ε → 0 osservando il grafico:

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Figura 1.6

Esattamente, definiamo la curvatura k di una curva parametrizzata dalla lunghezza con il valore non negativo:

k = ∥α̈(t)∥ (1.7)

Il fatto che α̈(t) ⟂ α̇(t) è dimostrabile esattamente tenendo presente che per noi ∥α̇(t)∥ = 1, da cui d/dt ∥α̇(t)∥ = 0 e quindi d²/dt ∥α̇(t)∥² = 0. Da ciò, si deduce:

d/dt ∥α̇(t)∥² = d/dt ⟨α̇(t), α̇(t)⟩ = ⟨α̈(t), α̇(t)⟩ + ⟨α̇(t), α̈(t)⟩ = 2⟨α̈(t), α̇(t)⟩ = 0 (1.8)

cioè ⟨α̈(t), α̇(t)⟩ = 0 (1.9)

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che è equivalente a α̈(t) ⟂ α̇(t).

Se si parte da una qualsiasi parametrizzazione, non necessariamente secondo la lunghezza, la formula che definisce la curvatura è più complicata. Per i nostri scopi, tale generalizzazione non è importante.

Siamo ora in grado di affrontare lo studio delle superfici.

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2. Le superfici

Una superficie (che supponiamo liscia, regolare ecc.) è un sottoinsieme di ℝ³ dotato di due dimensioni. Per questo, ad una superficie è associabile una funzione vettoriale, detta parametrizzazione, x: A ⊆ ℝ² → ℝ³, dove A è un sottoinsieme aperto di ℝ², dotata di tutti i crismi di regolarità. Figura 2.1

Le parametrizzazioni di S sono ovviamente infinite. Se ne scegliamo una, mettiamo x, i modi per indicarla sono:

x(u₁, u₂) oppure ξ(u₁, u₂) = (ξ₁(u₁, u₂), ξ₂(u₁, u₂), ξ₃(u₁, u₂)) (2.1)

dove (u₁, u₂) ∈ A, od altre analoghe.

Una parametrizzazione determina sulla superficie un sistema di coordinate locali in quanto ogni punto di essa viene ad essere associato ad una coppia ordinata (u₁, u₂). Tramite la parametrizzazione x si viene cioè ad avere:

(u₁, u₂) → (ξ₁, ξ₂, ξ₃) (2.2)

2.1 Vettori tangenti ad una superficie

Il fatto saliente alla base della geometria differenziale è che è possibile definire vettori tangenti alle superfici in ciascun loro punto.

Per fare questo dobbiamo utilizzare la definizione di vettore tangente già vista per le curve.

Consideriamo, come sopra, la superficie S dotata della parametrizzazione x definita sull'aperto A ⊆ ℝ². In α(t) = (u₁(t), u₂(t)) scegliamo una curva i cui punti sono.

Tramite la parametrizzazione x si viene a definire una corrispondente curva β(t) = x(α(t)) in ℝ³, esattamente,

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che giace completamente su S.

Figura 2.2

Le componenti di β(t) = x(α(t)) sono:

β(t) = (ξ₁(u₁(t), u₂(t)), ξ₂(u₁(t), u₂(t)), ξ₃(u₁(t), u₂(t))) (2.3)