Integrali di superficie 8

Sia z = g(y), a ≤ y ≤ b, dove 0 ≤ a < b < +∞, una funzione di classe C¹ su [a, b].

Consideriamo la superficie di rotazione S generata da una rotazione completa del grafico di g

attorno all'asse z. Calcolare l'area di S.

Soluzione. Esprimiamo S in forma parametrica; sia T = [a, b] x [0, 2π], e ^r(u, v) = u cos vⁱ +

u sin v ^j + g(u)^k, con (u, v) ∈ T. Si ottiene, a conti fatti,

|∂^r/∂u x ∂^r/∂v| = u√1 + (g'(u))²;

dunque

|S| = ∫_T u√1 + (g'(y))²dudv = ∫₀^2π (∫_a^b u√1 + (g'(u))²du) dv =

= 2π ∫_a^b y√1 + (g'(y))²dy,

risultato noto per altre vie più laboriose.