vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
Luca Lussardi Appunti di Analisi I
Funzioni continue
Il concetto di continuità per una funzione rappresenta una delle soglie minime per poter affermare
che una data funzione è regolare. Una funzione continua, moralmente parlando, è una funzione il
cui grafico si può tracciare senza interruzioni, ovvero senza che si producano salti. La definizione
di continuità si appoggia in modo essenziale alla definizione di limite.
Funzioni continue
→ ⊆ ∈
Una funzione f : E dove E si dice continua in x E se si ha
R R 0
lim f (x) = f (x ).
0
x→x
0
→
Si dice poi che una funzione f : E è continua se tale è in ogni punto di E.
R →
Conseguenza immediata della definizione è che una funzione f : E è sempre continua in
R
ogni punto isolato per E; più in generale, per quanto osservato sui limiti di funzioni, si ha che se
∈ →
x E ed f ammette limite per x x , allora necessariamente f è continua in E. Con la nostra
0 0
impostazione dunque la definizione di limite risulta sostanzialmente equivalente alla definizione
di continuità.
∈ →
Se x E e la funzione f : E non è continua in x si dice anche che f è discontinua in x ; va
R
0 0 0
da sè che non ha senso parlare di funzioni discontinue in punti che non appartengono all’insieme
di definizione di f .
La continuità risulta essere una proprietà molto stabile per operazioni varie.
→ − 6
Siano f, g : E continue. Allora f + g, f g, f g sono continue. Se g = 0
Proposizione: R √
≥
allora f /g è continua; se f 0 allora f è continua.
Inoltre la composizione di funzioni continue è ancora una funzione continua. Tali osservazioni
hanno una conseguenza molto importante per quanto riguarda il calcolo dei limiti, che quindi
diventa banale se risulta nota in partenza la continuità della funzione in gioco nel punto consid-
erato.
Un importante risultato di continuità viene espresso da un Teorema che fornisce la continuità
della funzione inversa, per altro il risultato che segue vale anche senza l’ipotesi che la funzione in
partenza sia continua; per dimostrare ciò sono necessari però strumenti non ancora sviluppati.
→
Siano I = (a, b) ed f : I una funzione continua ed invertibile; allora la
Proposizione: R
−1 →
funzione f : Im(f ) è continua.
R →
Sia data la funzione f : definita come
Esempio: R R 3 −
x 5 6
+ x .
f (x) = x +4
Allora dal momento che f risulta continua in x = 0 si ha
5
− .
lim f (x) = 4
x→0
www.matematicamente.it 1
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
