Compito in classe III liceo scientifico PNI

L.Lecci\Compito 3D\Mercoledì 27 ottobre 2004 1

Liceo Scientifico Statale “G. Stampacchia”

Tricase Tempo di lavoro

Oggetto: compito in Classe 3D/PNI 120 minuti

geometrici nel piano cartesiano- Applicazione delle simmetrie

Argomenti: Geometria analitica:Luoghi

centrali e assiali. Applicazione delle traslazioni: curve traslate ed equazioni di una stessa curva in due rife-

rimenti traslati. Algebra: Disequazioni irrazionali con e senza parametro . Soluzione

Geometria analitica  

a +

P ; a 3 , con a

In un riferimento cartesiano monometrico xOy si consideri il punto

Es_1)  

−

2 a 1

 

parametro reale. P appartiene al primo quadrante.

1.1 Stabilire per quali valori del parametro il punto γ

1.2 Determinare l’equazione cartesiana del luogo geometrico descritto dal punto P al variare

esplicitando l’equazione ottenuta nella forma y = f(x).

del parametro ′

Determinare le coordinate del punto P simmetrico di P rispetto alla retta avente e-

1.3 7

=

s : y e le coordinate del punto P′′ simmetrico di P rispetto alla retta

quazione 2 2

1

=

s : x . Classificare il triangolo P P′ P′′ e determinare la sua area.

1 2

Es_2) Indicare i punti che costituiscono il luogo geometrico nel piano cartesiano definito

2.1 ( ) 2 ( ) 4

− + + =

2

x x y 1 0 .

dalla seguente equazione:

2.2 Determinare la regione del piano cartesiano alla quale appartengono i punti del luogo

− − =

2 .

geometrico definito dalla seguente equazione: x 1 y 0

Si considerino in un piano cartesiano dotato di riferimento ortogonale monometrico i punti

Es_3) 2

A(0;-1), B(3;1) ed il punto P(1;a -a).

3.1 Stabilire per quali valori del parametro a il punto P è equidistante da A e da B. De-

terminare le coordinate dei punti P che verificano la suddetta condizione.

3.2 Riconosciuto che il punto P può solo coincidere con il punto di coordinate (1;3/4),

determinare le coordinate del punto P′ in modo che il quadrilatero APB P′ sia un

rombo.

3.3 Determinare il raggio della circonferenza inscritta al rombo APB P′.

Rappresentare nello stesso riferimento cartesiano la figura completa.

3.4 γ γ

Nel riferimento cartesiano xOy sono date le curve , , di equazioni:

Es_4) 1 2

2 2

   

1 9

γ

γ = − + + − + − =

2

: y x x 2 ; : x y 2

   

2

1 2 4

   

G 1 9

ˆ ˆ

= − − .

V i j

ed il vettore 2 4 γ′ γ′

Determinare le equazioni delle curve , , ottenute traslando nel riferimento carte-

4.1 1 2

γ

γ , del vettore .

siano le due curve V

1 2 γ′ γ′

Determinare i punti A′, B′ d’intersezione delle curve , . Trovare le antimmagini

4.2 1 2

G .

di A′, B′ nella traslazione determinata da V

Risolvere le seguenti disequazioni

Es_5) − − −

x x 1 x − −

2

x 4 x <

≥ 0 , con a∈

5.1 0 5.2 R

−

− x a

x x

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S

o l

u

z i

o n

e

G

e

o m

e

t r i a A

n a

l i t i c

a

Es_1 −

7 x 3

Affinché il punto P appartenga al primo quadrante,

1.1 γ =

Fig.1- : y −

x

2 1

compresi i semiassi che delimitano quest’ultimo, le

coordinate del punto devono essere non negative,

quindi il parametro a deve essere soluzione del se-

guente sistema:

 a ≥ 0

 −

 2 a 1

 + ≥

a 3 0

  

1

[ ]

= − ∪ +∞

S 3;0 ;

L’insieme delle soluzioni è:  

2

 

Per determinare l’equazione cartesiana del luogo de-

1.2 scritto dal punto P è necessario impostare il seguente

sistema:

 a

=

x

 − ed eliminare il parametro a. Si perviene

 2 a 1

 = +

y a 3

 −

7 x 3

γ =

: y

alla seguente equazione cartesiana: −

x

2 1

In Fig.1 è rappresentata la curva descritta dal punto P. Si tratta di un’iperbole equilatera a-

vente come asintoti le rette di equazioni: 7

=

− =

s : 2 x 1 0 per asintoto verticale; per asintoto orizzontale.

s : y

1 2 2

Le coordinate del punto P′ si ottengono applicando le equazioni della simmetria assiale a-

1.3 s

vente per asse la retta che sono:

2

=

 x ' x  

a

σ −

P a

' ;4

: ne segue che il punto immagine è

  

s = − −

y ' 7 y a

2 1

 



2

Analogamente, per avere le coordinate del simmetrico

1 Fig.2

=

di P rispetto alla retta s : x si devono applicare le

1 2

equazioni della simmetria assiale avente tale retta

come asse. Le equazioni sono:

= −

 x ' 1 x

σ : e quindi il punto simmetrico è



s =

y y

'



1 −

 

a 1 + .

P a

'' ; 3

 

−

a

2 1

 

Classificazione del triangolo PP′P′′

Si tratta di un triangolo rettangolo con l’angolo retto

nel vertice P; la sua area è data dal semiprodotto delle

misure dei due cateti: P P′, P P′′.

= − = − − + = −

PP ' y y 4 a ( a 3) 1 2 a ;

P P

' 1

= − =

PP x x

'' P '' P −

a

2 1

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Misura dell’area: −

⋅ a

1 2

PP PP

' '' 1 1 1

= = ⋅ = ≠

, naturalmente con

Area PP P

( ' '') a .

− 2

a

2 2 2 1 2 γ

In Fig.2 è rappresentato un ingrandimento de