Compito in classe II liceo scientifico PNI

L.Lecci\Compito 2D\Lunedì 29 marzo 2004 1

Liceo Scientifico Statale “G. Stampacchia”

Tricase Tempo di lavoro

Oggetto: compito in Classe 2D/PNI 80 minuti

Argomenti- Geometria: Risoluzione di problemi di secondo grado con applicazione del teorema di

Pitagora e dei teoremi di Euclide – Algebra: Equazioni biquadratiche, trinomie e reciproche.

Geometria

Problema_1 (m) Dato il quadrato ABCD, il cui lato misura l, determinare sui lati AB, BC, CD, DA

rispettivamente i punti E, F, G, H in modo che le misure dei segmenti AE, BF, CG, DH siano ri-

=

spettivamente proporzionali ai numeri 1, ½, 2, 1. Posto , risolvere i seguenti quesiti :

AE x 2

x

1.1 Determinare il valore di in modo che l’area del quadrilatero EFGH valga 37l /64. Deter-

minare la misura del perimetro del quadrilatero EFGH.

x

1.2 Stabilire per quali valori di il quadrilatero EFGH ha le diagonali congruenti e per i valori

trovati determinare la misura delle diagonali.

Problema_2 (m) Nel trapezio rettangolo ABCD è noto che:

• la diagonale minore è perpendicolare al lato obliquo;

• il rapporto tra la misura della base minore e quella dell’altezza è 3 ;

• 2

la misura dell’area è 42 3

cm .

Determinare la misura del perimetro del trapezio.

Algebra

Es_1) (m) Risolvere le seguenti equazioni

−

2 2

x 5 x 2

− = − − − − =

2 2 2

1.1 0 ; 1.2 8( x 3 x ) 2( x 3 x ) 15 0

− +

2 2

x 1 x 2

Es_2) (m)

2.1 Dopo aver scritto un’equazione reciproca avente tra le sue radici i seguenti numeri

2

= = − , risolverla per verificare la correttezza delle elaborazioni algebriche. Classi-

x ; x 1

1 2

5

ficare l’equazione scritta.

Scrivere un’equazione reciproca di quarto grado avente tra le sue radici i due numeri

2.2 1

= − = . Classificare l’equazione ottenuta.

x 2 , x

1 2 2

(m)

Es_3)

3.1 Stabilire per quali valori dei parametri , la seguente equazione

h k

− + − + − + − =

4 3

(2 k ) x ( h 1) x (2 k 1) x h 3 0

è reciproca e scrivere per i valori trovati le espressioni delle equazioni corrispondenti.

3.2 Nel caso esistano valori dei parametri per i quali l’equazione è reciproca di seconda specie

risolvere l’equazione ottenuta. Autore Luigi Lecci

L.Lecci\Compito 2D\Lunedì 29 marzo 2004 2

S

o l

u

z i

o

n

e

Problema_1

Facciamo riferimento alla Fig.1 nella quale è

1.1

rappresentato il quadrato ABCD e sono indicati i

punti E, F, G, H.

Poiché i segmenti AE, BF, CG, DH sono proporzio-

nali rispettivamente ai numeri 1, ½, 2, 1, ponendo

= si deduce:

AE x

= ⇒ = − ;

BF x / 2 FC l x / 2

= ⇒ = − ;

CG 2 x GD l 2 x

= ⇒ = − .

DH x HA l x

Per determinare il valore della misura x è necessario

trovare il valore dell’area del quadrilatero EFGH e

2

porla uguale al valore assegnato 37l /64. In tal modo

si ottiene un’equazione che risolta fornirà i valori di

x. L’area del quadrilatero in oggetto è data dalla dif-

ferenza tra l’area del quadrato ABCD e la somma delle aree dei quattro triangoli rettangoli EBF,

FCG, GDH, HAE. x

Limitazioni per i valori di

Prima di eseguire calcoli algebrici è bene osservare che i valori di x sono accettabili solo se soddi-

sfano le seguenti condizioni:

≥ − ≥ − ≥ − ≥

( ), ( ),( ),( ) che sintetizzate diventano

x 0 l x 0 l x / 2 0 l 2 x 0

≤ ≤

0 x l / 2 (*)

Ciò premesso risulta −

(

l x ) x

=

area del triangolo EBF ;

S

1 4

−

(2

l x ) x

= ;

S

area del triangolo FCG 2 2

−

(

l 2 x ) x

=

area del triangolo GDH ;

S 3 2

−

(

l x ) x

=

area del triangolo HAE ,

S 4 2

per cui l’area del quadrilatero EFGH è −

9 x (

l x )

= − + + + = −

2 2 .

S l ( S S S S ) l

1 2 3 4 4

37

= 2

Imponendo l’uguaglianza richiesta si ricava l’equazione

S l

64

−

9 x (

l x ) 37

− =

2 2

l l

4 64 − + =

2 2 ;

che ridotta al