Compito in classe II liceo scientifico PNI

L.Lecci\Compito 2D\Venerdì 28 maggio 2004 1

Liceo Scientifico Statale “G. Stampacchia”

Tricase Tempo di lavoro

120 minuti

Oggetto: compito in Classe 2D/PNI

Argomenti: Geometria: Problema geometrico di secondo grado- Algebra: equazioni reciproche; disequa-

zioni razionali; equazioni irrazionali; sistemi di equazioni di grado superiori al secondo. Informatica: pro-

blema sull’utilizzo degli Array. Soluzione

Geometria

Problema (m)

1) Il trapezio rettangolo ABCD è circoscritto alla semicirconferenza di diametro AB=2r con AD base

5 2

r

minore. E’ noto che l’area del trapezio è . Determinare le misure dei lati ed il perimetro del tra-

2

pezio.

2) Condotta per il vertice A la retta s parallela al lato obliquo CD sia P l’ulteriore punto in cui s taglia la

semicirconferenza e Q il punto in cui interseca la base BC. Determinare:

2.1 le misure dei segmenti AP, PQ;

2.2 il rapporto tra le aree delle due figure geometriche nelle quali la retta s divide il trapezio

ABCD;

2.3 l’ampiezza dell’angolo al centro AOP e la misura del corrispondente arco AP della semicir-

conferenza, essendo O il centro di questa.

Algebra

Es_1) (m) Stabilire per quali valori dei parametri a, b, c la seguente equazione

− + + + − + + − − =

4 3 2

( ) ( ) ( 2 ) 8 20 2 0

a b x b c x a c x x b a

diventa reciproca di seconda specie. Risolvere l’equazione ottenuta.

 − − − ≥

2 2 2

( x 1) 3( x 1) 0





(m) Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

Es_2) 1

− + <

2

x 0



 x

Risolvere le seguenti equazioni irrazionali

Es_3)(m) − + = +

− = + −

2 2 3 x x 7 1 x

x 2 x x 1 3

3.1 3.2

− + + =

2

3 x x 5 1 2 x

3.3

Es_4) (m) Risolvere i seguenti sistemi di equazioni

( )

 2

− − + − =

2 2

x y x y 6 0  − + =

 2 2

x 6 xy y 11





 4.2

4.1 2 + + =

+ = 2 2

2  6 x 5 6 xy 6 y 0

x 0

 y



Informatica

Codificare in T.P. l’algoritmo risolutivo del seguente problema di Arturo Studioso:

Arturo vuole tenere sotto controllo le temperature massima e minima di ogni giorno per i successivi trenta

giorni ed ogni giorno carica i valori registrati nel giorno precedente, conservando tutti i valori che via via re-

gistra. Alla fine del periodo vuole ottenere immediatamente il valore massimo ed il valore minimo registrati,

la media delle temperature massime, la media delle temperature minime e l’escursione termica media.

Opzionale- Potenziare il programma in modo che in output si forniscano i giorni in cui si è verificata la tem-

peratura massima e quelli in cui si è verificata la temperatura minima del periodo osservato.

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Soluzione

Geometria

Problema

1) Dalle informazioni fornite dal testo del

problema si deduce che il trapezio ha il la-

to perpendicolare alle basi coincidente con

il diametro della circonferenza. Il Fig.1 è

rappresentata la figura di riferimento.

Detto T il punto di contatto tra il lato obli-

quo CD e la semicirconferenza notiamo

che i segmenti AD, DT sono congruenti

perché segmenti di tangenti condotte dallo

stesso punto D alla semicirconferenza; a- = =

nalogamente sono congruenti tra loro i segmenti CT, BC. Poniamo ,

x AD DT

= = . Indicato con O il centro della semicirconferenza, osserviamo che il triangolo

y CT CB

COD è rettangolo in O perché:

l l

i due angoli , sono supplementari in quanto coppia di angoli coniugati

ADC BCD

‰ interni rispetto alle rette parallele delle basi del trapezio tagliate dalla trasversale

[C;D];

dal teorema sulle tangenti condotte da un punto esterno ad una circonferenza si sa

‰ che il segmento che unisce il punto con il centro della circonferenza è bisettrice

l

e quindi DO è bisettrice dell’angolo e CO è

ADC

dell’angolo formato dalle tangenti

l , quindi si ha:

bisettrice dell’angolo BCD

( )

1 1 ( )

l l l l

+ = + = ° = °

180 90

ODT OCT ADC BCD

2 2

Dunque il triangolo COD ha due angoli la cui somma misura 90° e conseguentemente il ter-

l

zo angolo, cioè , misura 90° e quindi è retto.

COD

Relazioni metriche

L’area di un trapezio è data dal prodotto della semisomma delle basi per l’altezza;

‰ 5 2

quella del trapezio ABCD è e quindi risulta

r

2

( ) ( )

+ ⋅

BC AD AB + ⋅

y x 2 r 5

5

= = = ⇒ + =

2

Area ( ABCD ) r x y r

2 2 2 2

Applicando il secondo teorema di Euclide al triangolo rettangolo COD, nel quale

‰ l’altezza relativa all’ipotenusa è OT che misura r, si ha l’ulteriore relazione

2 2

⋅ = ⇔

CT DT OT xy=r .

Risolvendo il sistema di equazioni formato dalle due relazioni ottenute si determina-

‰ x y

no i valori delle misure , .

 5

+ =

x y r

 2



 = 2

xy r

 di secondo grado; si può risolvere velo-

Si tratta di un classico sistema simmetrico

cemente impostando l’equazione ausiliaria di secondo grado

− + =

2

t st p s= x+y p = xy

0 , con , .

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Dunque r

5

− + = ⇒ = =

2 2

t rt r t t r

0 , 2

1 2

2 2

Il sistema è di secondo grado e quindi se è determinato ( come nel nostro caso) am-

mette due soluzioni. Tuttavia dalle informazione connesse al problema sappiamo che

x

AD rappresenta la base minore e quindi la sua misura ( ) deve essere minore della

y

misura ( ) della base maggiore. Per questo motivo delle due soluzioni del sistema,

dal punto di vista geometrico, è accettabile solo

r r

= = = = = = = =

AD DT

x t y t r

, 2 , quindi , .

2

BC CT r

1 2 2

2

Misure dei lati e del perimetro del trapezio ABCD

r

5

= = = + = =

AB r BC r CD CT DT r AD

2 ; 2 ; ;

2 2

Perimetro (di ABCD) r

5

+ + + = + + + =

AB BC CD AD r r r r

2 2 7

2 2

2)

2.1 Misure dei segmenti AP, PQ

Osserviamo subito che il quadrilatero AQCD è un parallelogramma perché ha i lati opposti

= ⇒ = = =

AD r / 2 QC r / 2 AQ DC 5

r / 2;

, inoltre

paralleli e sapendo che

ricaviamo ancora

= −